(Unión de una familia arbitraria de conjuntos)° no es igual a la unión del interior de los conjuntos

Question

Quiero un contraejemplo de por qué el interior de la unión de una familia arbitraria de conjuntos no es un subconjunto de la unión de una familia arbitraria de conjuntos interiores

Answer 1

$\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Q}^c$ .

o

$(1,2]$ y $[2,3]$ .

Para el caso infinito dejemos que los restos sean nulos.

Answer 2

En ${\mathbb{R}}$

Dejemos que $S_x = {x}, x \in \mathbb{R}$

El interior de cualquier S es un conjunto vacío

El interior de la unión es ${\mathbb{R}}$