Esta pregunta es tal vez un poco vago; parte de lo que quiero saber es cuál es la pregunta que yo debería preguntar.
En primer lugar, recordemos el siguiente formulario de Cauchy-Schwarz desigualdad: vamos a $V$ ser un verdadero espacio vectorial, y supongamos $(\cdot, \cdot) : V \times V \to \mathbb{R}$ es bilineal simétrica, de forma que es positivo semidefinite, que es, $(x,x) \ge 0$ todos los $x$. Entonces para cualquier $x,y \in V$ tenemos $|(x,y)|^2 \le (x,x) (y,y)$.
Me gustaría saber qué pasa si reemplazamos $\mathbb{R}$ por algún otro espacio de $W$. Supongamos en primer lugar que el $W$ es un espacio vectorial real, equipado con un orden parcial $\le$ que hace un ordenado espacio vectorial, así como una operación de multiplicación $\cdot$ que hace un álgebra. Entonces tiene sentido hablar de un positivo semidefinite bilineal simétrica forma $(\cdot, \cdot) : V \times V \to W$, y preguntar si satisface las Cauchy-Schwarz desigualdad $(v,w)\cdot(v,w) \le (v,v) \cdot (v,w)$.
Bajo qué condiciones en $W$ hace esto "generalizado de Cauchy-Schwarz desigualdad"?
Como mínimo espero que necesitará un poco más de estructura en $W$; en particular, supongo que nos gustaría que la multiplicación y el orden parcial en $W$ a interactuar en forma razonable, de modo que, por ejemplo, $w\cdot w \ge 0$ todos los $w \in W$. Hay otras propiedades que $W$ debe tener?
Hay un montón de pruebas de la clásica de Cauchy-Schwarz desigualdad; presumiblemente, uno debe tratar de encontrar a uno de ellos que se generaliza. Pero yo no podía ver de inmediato cómo hacerlo.
Aquí están algunos ejemplos de motivación.
Como uno bastante sencillo, vamos a $X$ ser cualquier conjunto, y $W = \mathbb{R}^X$ el espacio vectorial de todas las funciones con valores en $X$. Podemos equipar a $W$ con el pointwise multiplicación y pedidos. A continuación, vamos a $V$ ser cualquier subespacio lineal de $W$, y dejar que la forma bilineal $V \times V \to W$ también se pointwise la multiplicación. Luego, por supuesto, de Cauchy-Schwarz tiene ya podemos probarlo pointwise.
Para un poco menos trivial ejemplo, supongamos $(X,\mu)$ ser una medida en el espacio, y $W = L^0(X,\mu)$ ser el espacio vectorial de todas las funciones medibles sobre $X$ mod $\mu$-casi-todos lados de la igualdad (de modo que un elemento de $W$ es de hecho una clase de equivalencia de funciones). De nuevo vamos a $\cdot$ ser pointwise multiplicación (que está bien definido), y el pedido de $f \le g$ al $f(x) \le g(x)$ en casi todas partes. Tomar de nuevo un subespacio lineal $V \subset W$, y pointwise la multiplicación como la forma bilineal. Ahora Cauchy-Schwarz tiene porque podemos demostrar que pointwise en un conjunto de medida completa.
Un trabajo relacionado, pero más complicado de la probabilidad (y mi motivación original) es la cuadrática de la variación de la forma de la probabilidad. Por ejemplo, podríamos tomar a $V$ a ser el espacio vectorial de continuo $L^2$ martingales en algunos filtrado de probabilidad en el espacio durante algún intervalo de tiempo $[0,T]$, e $W$ el espacio vectorial de continuo adaptado los procesos de variación acotada, mod indistinguishability, con pointwise la multiplicación y el orden parcial $X \le Y$ fib $X_t \le Y_t$ todos los $t$ casi seguramente. A continuación, la variación cuadrática $\langle M,N \rangle$ es simétrica positiva semidefinite bilineal forma de$V \times V$$W$.
En este caso se puede probar la de Cauchy-Schwarz desigualdad pointwise: fix $M,N \in V$. Para casi todas las $\omega$, para todos los $t \in [0,T]$ y todos los $q \in \mathbb{Q}$ me puede decir $$q^2 \langle M,M \rangle_t(\omega) \pm 2 \langle M,N \rangle_t(\omega) + \frac{1}{q^2} \langle N,N \rangle_t(\omega) = \langle q M \pm \frac{1}{q} N \rangle_t(\omega) \ge 0$$ y, a continuación, dejando $q$ ser racional, muy cerca de la $\sqrt{\langle N,N \rangle_t(\omega) / \langle M,M \rangle_t(\omega)}$ muestra que $$|\langle M,N \rangle_t(\omega)| \le \sqrt{\langle M,M \rangle_t(\omega) \langle N,N \rangle_t(\omega)}$$ que es lo que queremos.
En cada uno de estos ejemplos, estamos trabajando en función de los espacios (o cocientes de los mismos), y la prueba esencialmente opera pointwise. Yo estoy esperando algún tipo de más abstracta global argumento.
