Calcula $I=\int(x+3)\sqrt\frac{x+2}{x-2}\mathrm dx$

Question

Calcula $$I=\int(x+3)\sqrt\frac{x+2}{x-2}\mathrm dx$$

La forma de enfocar este problema fue:

1. Set $u=\sqrt{x-2}$ y llegar a $$I=2\int\frac{u^2(u^2+1)}{\sqrt{u^2-4}}\mathrm du$$
2. Set $u=2\sec t\implies\mathrm du=2\sec t\tan t\mathrm dt$ para conseguir $I=8\int\sec^3(t)(4\sec^2(t)+1)\mathrm dt$

Ahora esta integral implica $\sec^5t$ y $\sec^3t$ lo que no me hace muy feliz. Creo que debería haber un método más sencillo. ¿Alguien puede mostrarme pasos más sencillos? (los primeros pasos/sustituciones serían suficientes)

Answer 1

Escribe $x+3=(x-2)+5$ y utilizar $\int\sqrt{x^2-a^2}dx$ . Ahora,

$$\begin{align} \\ \sqrt{\dfrac{x+2}{x-2}} &= \dfrac{x+2}{\sqrt{x^2-4}} \\ &=\dfrac x{\sqrt{x^2-4}}+\dfrac2{\sqrt{x^2-2^2}} \end{align}$$

Answer 2

Cuando terminas con $\int\sec\theta\,d\theta$ a menudo significa que habría sido mejor hacer una $\cosh\theta$ sustitución en su lugar. Aquí vamos a utilizar $x=2\cosh\theta$ así que $\sqrt{x^2-4}=2\sinh\theta$ y $dx=2\sinh\theta\,d\theta$ $$\begin{align}\int(x+3)\sqrt{\frac{x+2}{x-2}}dx&=\int\frac{(x+3)(x+2)}{\sqrt{x^2-4}}dx\\ &=\int\frac{(2\cosh\theta+3)(2\cosh\theta+2)}{2\sinh\theta}2\sinh\theta\,d\theta\\ &=\int\left(4\cosh^2\theta+10\cosh\theta+6\right)d\theta\\ &=\int(2\cosh2\theta+10\cosh\theta+8)d\theta\\ &=\sinh2\theta+10\sinh\theta+8\theta+C_1\\ &=2\sinh\theta\cosh\theta+10\sinh\theta+8\theta+C_1\\ &=2\frac{\sqrt{x^4-4}}2\frac x2+10\frac{\sqrt{x^2-4}}2+8\cosh^{-1}\left(\frac x2\right)+C_1\\ &=\left(\frac12x+5\right)\sqrt{x^2-4}+8\ln\left(\frac x2+\sqrt{\frac{x^2}4-1}\right)+C_1\\ &=\left(\frac12x+5\right)\sqrt{x^2-4}+8\ln\left(x+\sqrt{x^2-4}\right)+C\end{align}$$ Donde $C=C_1-\ln2$ . La diferenciación verifica este resultado.

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Dado que el OP no conoce las funciones hiperbólicas: $$\begin{align}\cosh x&=\frac{e^x+e^{-x}}2\\ \sinh x&=\frac{e^x-e^{-x}}2\end{align}$$ Así que $$\begin{align}\cosh^2x-\sinh^2x&=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}4-\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}4=1\\ \cosh^2x+\sinh^2x&=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}4+\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}4=\frac{e^{2x}+e^{-2x}}2=\cosh2x\end{align}$$ Al añadir el último $2$ fórmulas tenemos $$2\cosh^2x=\cosh2x+1$$ Y por último está $$\begin{align}\frac d{dx}\cosh x&=\frac d{dx}\frac{e^x+e^{-x}}2=\frac{e^x-e^{-x}}2=\sinh x\\ \frac d{dx}\sinh x&=\frac d{dx}\frac{e^x-e^{-x}}2=\frac{e^x+e^{-x}}2=\cosh x\end{align}$$ Oh, hay una cosa más: si $y=\cosh^{-1}x$ entonces $$x=\cosh y=\frac{e^y+e^{-y}}2$$ Así que $$e^{2y}-2xe^y+1=0$$ Resolver para $y$ , $$y=\cosh^{-1}x=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$$ Ahora ya lo sabes.

Answer 3

Nota: Este es un tramo muy, muy largo.

Respuesta final: $$\dfrac{16\ln\left(\left|\sqrt{\frac{x^2}4-1}\right|\right)+(x+10)\sqrt{x^2-4}}2+C$$

Después de aplicar la división larga en $\dfrac{(x+3)\sqrt{x^2-4}}{x-2}$ y reescribiendo la integral, se obtiene: $$5\int\frac{\sqrt{x^2-4}}{x-2}dx+\int\sqrt{x^2-4} dx$$

Dejemos que $x=2\sec(u)\rightarrow u=\text{arcsec}\left(\dfrac x2\right) \rightarrow dx=2\sec(u)\tan(u)du$ . $$\int\frac{\sqrt{x^2-4}}{x-2}dx=\int\dfrac{2\sec(u)\sqrt{4\sec^2(u)-4}\tan(u)}{2\sec(u)-2}=2\left(\int\cos(u)\sec^2(u)du+\int\sec^2(u)du \right)$$

$$=2\left(\int\sec(u)+\int\sec^2(u)du \right)=2\Big{(}\ln\big{(}\tan(u)+\sec(u)\big{)}+\tan(u)\Big{)}$$

Sustituyendo de $u$ a $x$ : $$2\Big{(}\ln\big{(}\tan(u)+\sec(u)\big{)}+\tan(u)\Big{)}=2\ln\left(\sqrt{\frac {x^2}4-1}+\frac x2\right)+2\sqrt{\frac {x^2}4-1}$$ Entonces: $$\int\sqrt{x^2-4}=x\sqrt{\frac {x^2}4-1}-2\ln\left(\sqrt{\frac {x^2}4-1}+\frac x2\right)$$

Así que reuniendo nuestros pasos:

$$5\int\frac{\sqrt{x^2-4}}{x-2}dx+\int\sqrt{x^2-4} dx=$$$$ 5\cdot \left(2\ln\left(\sqrt{\frac {x^2}4-1}+\frac x2\right)+2\sqrt{\frac {x^2}-1\right)+xsqrt{\frac {x^2}4-1}-2\ln\left(\sqrt{\frac {x^2}4-1}+\frac x2\right)$$

Lo que finalmente te ayuda a llegar a la respuesta. ¡Uf!

Answer 4

Creo que la sustitución más fácil debería ser $x= 2\cos2 \alpha$ y luego, se obtiene

$\int i(2\cos2 \alpha +3)\cot \alpha \mathrm{d}(\ 2cos2 \alpha)$

$= \int i(2\cos2 \alpha +3)\cot \alpha (-4 \sin2\alpha)\mathrm{d}\alpha $

Ahora puedes proceder, con simplificaciones trigonométricas.