Demostrar que algunos conjuntos son bases

Question

Sea $K$ un campo y $V$ un espacio vectorial sobre $K$ con base $\{e_i \mid i \in \mathbb N\}$. Sea $R = \mathrm{End}_K(V)$ y definamos $f, g \in R$ por $f(e_{2n}) = e_n$, $f(e_{2n +1}) = 0$ y $g(e_{2n}) = 0$, $g(e_{2n +1}) = e_n$ para todo $n \geq 0$. Muestra que los conjuntos $\{1_R\}$ y $\{f, g\}$ son bases de $R_R$.

¿Alguna idea de cómo abordar esto???

Answer 1

Primero, recuerda que la operación de multiplicación en el anillo $R$ es composición de funciones. Si $R$ se considera como un módulo izquierdo-$R$, entonces obviamente está generado por $1_{R}$, ya que cualquier elemento de $R$, digamos $f$, está trivialmente en el espacio generado por $1_{R}$ ya que $f=f \circ 1_{R}$. En cuanto a la siguiente parte, observa que $\alpha$ y $\beta$ son linealmente independientes, ya que si $\exists f,g \in R$ tal que-

\begin{align} &f \circ \alpha + g \circ \beta = 0\\ \implies& f(\alpha(e_{2n})) + g(\beta(e_{2n}) = 0 \ \ \ \ \ \ \forall n \in \mathbb{N}\\ \implies & f(e_n) = 0 \ \ \ \ \ \ \forall n \in \mathbb{N}\\ \implies & f \equiv 0\\ \implies & g \equiv 0 \end{align} Ahora será suficiente probar que $1_{R} \in Span(\alpha,\beta)$ usando la primera parte del problema. Define los dos mapas 'duales' $\gamma, \delta \in R$ por -

$\gamma(e_{n}) = e_{2n} \\ \delta(e_n) = e_{2n+1}$

Luego notar que -

$1_{R} = \gamma \circ \alpha + \delta \circ \beta$

Te dejo para que verifiques que esto se cumple (puede ser verificado inmediatamente evaluando ambos lados en cualquier vector de base).