Estoy tratando de completar una prueba de inducción en este problema, pero no puedo averiguar los pasos finales. Entiendo la lógica detrás de lo que hace que este teorema sea verdadero, y lo explicaré aquí antes de sumergirme en lo que he escrito hasta ahora para la prueba.
Por ejemplo, tome $2^4$ . Para comprobar si se trata de un número deficitario, miramos la suma de sus divisores, que son $2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3$ .
$2^4 = 16$ y $2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 = 15$ . Desde $16 > 15$ podemos decir que $2^4$ es un número deficiente.
Esto se puede generalizar a $2^n > \sum_{i = 0}^{n-1} 2^{i}$
Para mi prueba hasta ahora, esto es lo que tengo:
Prueba (por inducción) : Dejemos que $n$ sea un número entero positivo cualquiera, donde tenemos que demostrar $2^n$ es deficiente. También dejemos que la suma de los divisores de $2^n$ igual $2^0 + 2^1 + ... + 2^{n-1}$ . Podemos decir que $2^n$ es deficiente si es mayor que la suma de sus divisores. Para el caso base, dejemos que $n = 1$ . Entonces, $2^n = 2$ y la suma de los divisores es igual a $2^0$ . Desde $2^1 > 2^0$ el teorema se cumple para este caso.
A continuación, queremos averiguar si el teorema se cumple para $n + 1$ . Por lo tanto: ... Aquí es donde necesito ayuda
Quiero probar y utilizar $2^{n+1} > \sum_{i = 0}^{n} 2^{i}$ de alguna manera, pero no sé cómo ya que hace tiempo que no trabajo en pruebas. Cualquier ayuda o idea alternativa será muy apreciada.
