Ejemplo:
Dejemos que $L=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ sea una extensión cuadrática de $F=\mathbb{Q}$ con un número entero libre de cuadrados $d$ .entonces,
$g_{a+b\sqrt{d}}(X)=(X-a-b\sqrt{d})(X-a+b\sqrt{d})=X^2 -2aX+(a^2 -db^2),$
Así que..,
$Tr_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})/\mathbb{Q}}(a+b\sqrt{d})=2a$ , $N_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})/\mathbb{Q}}(a+b\sqrt{d})=a^2-db^2$ .
En particular, un número entero $c$ es una suma de dos cuadrados si $c\in N_{\mathbb{Q}(\sqrt{-1})/\mathbb{Q}}O_{\mathbb{Q}(\sqrt{-1})}$ . De manera más general, $c$ es de la forma $a^2 -db^2$ con $a,b\in \mathbb{Z}$ y sin cuadrar $d$ no es congruente con $1 \mod 4$ si $c\in N_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})/\mathbb{Q}}\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ .
¿Puede alguien darme una explicación de por qué un número entero $c$ es una suma de dos cuadrados si $c\in N_{\mathbb{Q}(\sqrt{-1})/\mathbb{Q}}O_{\mathbb{Q}(\sqrt{-1})}$ ?
