¿Está saturada la finalización de una medida saturada?

Question

Una medida $\mu$ en $(X,\mathcal{M})$ está saturado si todo conjunto localmente medible pertenece a $\mathcal{M}$ . Un conjunto $E\subset X$ es localmente medible si $E\cap A\in \mathcal{M}$ siempre que $A\in\mathcal{M}$ con $\mu(A)<\infty$ .

Es fácil comprobar que un $\sigma$ -la medida finita está saturada. Por lo tanto, una afirmación verdadera relacionada, mucho más débil, es que la terminación de una $\sigma$ -medida finita es $\sigma$ -finito, por lo tanto saturado.

EDIT: En el contexto de la inducción de una medida exterior $\mu^*$ en $X$ de una medida $\mu$ en $(X,\mathcal M)$ (es decir, dejando que $\mu^{*}(E)=\text{inf}\{\sum_1^\infty\mu(A_j): A_j\in\mathcal M, E\subset\bigcup_1^\infty A_j\}$ ), y luego restringirlo al $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{M}^*$ de $\mu^*$ -conjuntos medibles para obtener una medida (completa) $\bar{\mu}$ (es decir, dejar que $\bar{\mu}=\mu^*|\mathcal{M^*})$ El contraejemplo de Michael Greinecker tiene el siguiente significado: En general, $\bar{\mu}$ es la saturación de la terminación de $\mu$ . Por supuesto, si $\mu$ es $\sigma$ -finito, entonces $\bar{\mu}$ es sólo la finalización de $\mu$ . Pero $\bar{\mu}$ puede no ser sólo la finalización de $\mu$ aunque $\mu$ está saturado.

Answer 1

No.

Dejemos que $\kappa$ sea un conjunto de índices incontables y para cada $k\in\kappa$ , dejemos que $X_k$ sea una copia disjunta del conjunto $\{0,1\}$ , $\mathcal{M}_k=\{\emptyset,X_k\}$ . Dejamos que $X=\bigcup_{k\in\kappa} X_k$ y $$\mathcal{M}=\{E\subseteq X:E\cap X_k\in\mathcal{M}_k\text{ for all }k\in\kappa\}.$$

Dejemos que $\mu$ sea la medida sobre $(X,\mathcal{M})$ dado por

$$\mu(A) = \begin{cases} \infty &\mbox{if } A\cap X_k\neq\emptyset\text{ for uncountably many }k. \\ 0 & \mbox{otherwise.}\end{cases}$$

Es fácil ver que $(X,\mathcal{M},\mu)$ es un espacio de medida saturado. Demostramos que tiene una terminación que no está saturada.

Dejemos que $Z$ sea el conjunto que contiene una copia de $0$ de cada $X_k$ . Para cada $k$ el conjunto nulo formado por la copia de $0$ y $1$ en $X_k$ es medible y por tanto el conjunto que contiene una copia de $0$ en $X_k$ está en la finalización. De ello se desprende que $Z$ es localmente medible en la terminación.

Si $Z$ estaría en la terminación, podríamos escribirlo como $Z=A\cup N$ con $A\in\mathcal{M}$ y $N$ siendo el subconjunto de un conjunto nulo. Ahora el único subconjunto de $Z$ que se encuentra en $\mathcal{M}$ es el conjunto vacío, ya que todo conjunto en $\mathcal{M}$ que contiene alguna copia de $0$ en algunos $X_k$ también debe contener una copia de $1$ en que $X_k$ . Así que debemos tener $Z=N$ y $Z$ debe ser el subconjunto de un conjunto de medida cero en $\mathcal{M}$ . Pero, de nuevo, si un conjunto en $\mathcal{M}$ contiene una copia de $0$ en algunos $X_k$ también debe contener una copia de $1$ en que $X_k$ y como $Z$ contiene una copia de $0$ en cada $X_k$ cada superconjunto de $Z$ en $\mathcal{M}$ debe contener tanto una copia de $0$ y $1$ en cada $X_k$ . Así que el único superconjunto de $Z$ en $\mathcal{M}$ es $X$ pero $\mu(X)=\infty$ . Esta contradicción demuestra que $Z$ no está en la terminación, aunque es localmente medible en la terminación.