Supongamos que $Y$ es un par de pantalones con una estructura hiperbólica y $\gamma_i; i = 1, 2, 3$ son los límites geodésicos de longitud $l_i; i=1, 2, 3$ respectivamente. Consideremos ahora un arco simple esencial $\sigma$ en $Y$ con puntos finales en una misma componente límite de $Y$ y $l$ denotan la longitud de la única geodésica en la clase de homotopía de $\sigma$ . Entonces, mi pregunta es el tiempo la desigualdad, $l$ $\geq$ $\frac{1}{2}$ min{ $l_i | i= 1, 2, 3$ } sujetar o no para cada par de pantalones $Y$ .
Respuestas
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Si se mantienen fijas las longitudes de dos puños (digamos iguales a L) y se deja que el tercero llegue al infinito (digamos igual a R), entonces la longitud $l$ de la orto-geodésica con puntos finales en el tercer manguito va a cero. Hay una fórmula trigonométrica para ver esto. Corta el pantalón en dos hexágonos rectángulos y después en cuatro pentágonos con la orto-geodésica. La fórmula 2.6.17 para pentágonos en ángulo recto del capítulo 2 de los apuntes de Thurston da $\sinh(R/4) \sinh (l/2) = \cosh(L/2)$ . Por lo tanto, no existe tal límite.
Callie
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No es así. Supongamos que los tres componentes del límite tienen una longitud igual y muy larga $R$ . Entonces el par de pantalones es casi isométrico a un gráfico que tiene dos vértices $V,W$ y tres aristas de longitud $R/2$ cada conexión $V$ a $W$ Por "casi isométrica" quiero decir que existe una función desde los pantalones a la gráfica que distorsiona la longitud de las geodésicas cerradas y de las geodésicas que chocan con la frontera en ángulos rectos en una cantidad aditiva que está acotada para $R$ cerca de $+\infty$ . Cada una de las tres curvas límite tiene su longitud conservada en este gráfico. Sin embargo, el arco por el que preguntas se corresponde con una única arista, de longitud $R/2$ , así que de vuelta en los pantalones este arco tiene una longitud tan cercana a $R/2$ como quieras.
Esto puede hacerse riguroso utilizando fórmulas de trigonometría hiperbólica que se encuentran, por ejemplo, en el libro de Thurston La geometría y la topología de los 3-manifolds .
