Mayor $n$-vértice poliedro que encaja en una unidad de esfera

Question

En dos dimensiones, no es difícil ver que el $n$vértices del polígono de área máxima que cabe dentro de un círculo unitario es el regular $n$-gon cuyos vértices mentira en el círculo: Para cualquier otro vértice de configuración, siempre es posible desplazar un punto de una manera que aumenta el área.

En tres dimensiones, las cosas son mucho menos claros. ¿Cuál es el poliedro con $n$ vértices de volumen máximo que cabe en una unidad de la esfera? Todos los vértices de un poliedro, debe recaer en la superficie de la esfera (si uno de ellos no, traducir hacia el exterior a lo largo del vector de la conexión a la esfera del punto medio para obtener un poliedro de mayor volumen), pero ¿y ahora qué? Ni siquiera que el poliedro debe ser convexa para cada $n$ es inmediatamente obvio para mí.

Answer 1

Se supone que esta es un comentario, pero me gustaría publicar una foto.

Para cualquier $m \ge 3$, podemos poner $m+2$ vértices en el ámbito de la unidad de

$$( 0, 0, \pm 1) \quad\text{ and }\quad \left( \cos\frac{2\pi k}{m}, \sin\frac{2\pi k}{m}, 0 \right) \quad\text{ for }\quad 0 \le k < m$$

Su casco convexo será un $m$-gonal bipyramid que aparecen a continuación.

A mi conocimiento, el más grande de $n$-vértice poliedro en el interior de una esfera es conocido sólo a $n = 8$.

• $n = 4$, un tetraedro.
• $n = 5$, un triangular bipyramid.
• $n = 6$, un octaedro = un cuadrado bipyramid
• $n = 7$, un pentagonal bipyramid.
• $n = 8$, no es ni el cubo ( volumen: $\frac{8}{3\sqrt{3}} \approx 1.53960$ ) ni en el hexagonal bipyramid ( volumen: $\sqrt{3} \approx 1.73205$ ). En su lugar, tiene un volumen de $\sqrt{\frac{475+29\sqrt{145}}{250}} \approx 1.815716104224$.
  Deje $\phi = \cos^{-1}\sqrt{\frac{15+\sqrt{145}}{40}}$, un posible conjunto de vértices son los siguientes: $$ ( \pm \sin3\phi, 0, +\cos3\phi)\;\; ( \pm\sin\phi, 0,+\cos\phi) \ \ (0, \pm\sin3\phi, -\cos3\phi),\;\; ( 0, \pm\sin\phi, -\cos\phi). $$ Para este conjunto de vértices del poliedro es convexo de casco de dos polilíneas. Uno en $xz$-plano y el otro en $yz$-plano. La siguiente es una figura de este poliedro, el rojo/verde/azul flechas son las $x/y/z$-ejes respectivamente.

$\hspace0.75in$

Para $n \le 8$, por encima de las configuraciones son conocidos por ser óptima. Una prueba de ello en el papel

Joel D. Berman, Kit de Hanes, los Volúmenes de los poliedros inscrito en la unidad de la esfera en $E^3$
Mathematische Annalen 1970, Tomo 188, número 1, pp 78-84

Una copia electrónica del documento es visible desde aquí (necesita desplazarse a imagen 84/página 78 en la primera visita).

Para $n \le 130$, una buena fuente de cerca de configuraciones óptimas se pueden encontrar en virtud de N. J. A. Sloane página web en Máximo Volumen Esférico De Códigos. Contiene la mejor configuración conocida, al menos hasta el año 1994. Por ejemplo, usted puede encontrar un conjunto alternativo de las coordenadas de la $n = 8$ caso de la maxvol3.8 los archivos bajo el enlace a la biblioteca de 3-d de los arreglos de allí.