¿Cómo se puede demostrar que un $A_4$ -extensión de $\mathbb{Q}$ ramificado en un solo primo debe ser totalmente real?
Respuesta
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$\def\Z{\mathbf{Z}}$ $\def\Q{\mathbf{Q}}$ $\def\PSL{\mathrm{PSL}}$ $\def\SL{\mathrm{SL}}$ $\def\inv{\mathrm{inv}}$ $\def\Br{\mathrm{Br}}$ $\def\Gal{\mathrm{Gal}}$ $\def\F{\mathbf{F}}$ $\def\R{\mathbf{R}}$ $\def\C{\mathbf{C}}$
Esto es una consecuencia de la teoría del campo de clases.
Después de algunas reducciones obvias, se puede suponer que $p \equiv 1 \pmod 3$ y que los grupos de inercia y descomposición en $p$ vienen dadas por $I_p = D_p = \Z/3\Z \subset A_4$ .
Tenga en cuenta que $A_4 = \Gal(K/\Q) = \PSL_2(\F_3)$ . Consideremos el problema de elevar dicha representación a $\SL_2(\F_3)$ que es una extensión central no dividida por $\Z/2\Z$ . La teoría de grupos dice que la obstrucción a tal elevación reside en
$$H^2(G_{\Q},\Z/2\Z) = H^2(G_{\Q},\mu_2) = \Br(\Q)[2],$$
el $2$ -en el grupo de Brauer de $\Q$ . Por el teorema de Albert-Brauer-Hasse-Noether (teoría de campos de clases) el grupo de Brauer inyecta en la suma de grupos de Brauer locales, por lo que los únicos obstáculos son locales. Análogamente (de nuevo por la teoría de campos de clases), la imagen de $\Br(\Q)$ en la suma de los grupos locales de Brauer es el núcleo del mapa invariante $\inv$ a $\Q/\Z$ por lo que se deduce que cualquier clase no trivial debe ser no trivial en $\Br(\Q_v)$ durante al menos dos lugares $v$ de $\Q$ . (Para $2$ -clases de torsión, incluso se ve que tiene que estar ramificada en un número par de $v$ pero eso no es relevante aquí).
No hay ningún obstáculo para la elevación de los dos lugares $p$ y $\infty$ porque las representaciones no ramificadas se elevan trivialmente. Tampoco hay obstrucción en el primo $p$ porque $I_p = D_p = \Z/3\Z$ y $G_{\Q_p} \rightarrow \Z/3\Z \rightarrow \PSL_2(\F_3)$ se eleva trivialmente a $\SL_2(\F_3)$ . Por lo tanto, la única obstrucción posible puede ocurrir en $\infty$ . Pero, por la observación anterior, la imagen de un elemento no trivial de $\Br(\Q)$ debe ser ramificado al menos en dos primos. Por lo tanto, no hay obstrucción local en $\infty$ tampoco.
El resultado es inmediato: si la conjugación compleja no era trivial en $\PSL_2(\F_3)$ , hay sería sea una obstrucción local en $\infty$ ya que la elevación de cualquier orden $2$ elemento en $\PSL_2(\F_3)$ a $\SL_2(\F_3)$ tiene orden $4$ por lo que un mapa no trivial $\Z/2\Z = \Gal(\C/\R) \rightarrow \PSL_2(\F_3)$ no puede levantar a $\SL_2(\F_3)$ . De ahí que el $A_4$ -extensión es totalmente real, como se desea.
