Por favor, explique $\lg(T(N)) = 3 \lg N + \lg a$ equivale a $ T(N) = aN^3$

Question

Estoy leyendo Algoritmos de Kevin Wayne y Robert Sedgewick .

Así lo afirman:

$\lg(T(N)) = 3 \lg N + \lg a $

(donde $a$ es constante) es equivalente a

$T(N) = aN^3$

Sé que $\lg$ significa una base $10$ logaritmo y que $\lg(T(N))$ es el índice de la potencia a la que $10$ debe elevarse para producir $T(N)$ pero me gustaría que me ayudaran a entender cómo pasar de la primera ecuación a la segunda.

Answer 1

Recuerda las propiedades de los logaritmos:

$$b\lg a = \lg(a^b)$$ $$\lg a + \lg b = \log(ab)$$

Usando estas propiedades, tenemos:

$$\begin{align} \lg(\color{blue}{\bf T(N)}) & = 3 \lg N + \lg a \\ \\ & = \log(N^3) + \lg a \\ \\ & = \lg(\color{blue}{\bf aN^3}) \\ \\ \end{align}$$

Por lo tanto, tenemos $$\large 10^{\lg (T(N))} = 10^{\lg (aN^3)}$$ $$\iff T(N) = aN^3\quad\qquad$$

Answer 2

Simplemente, levante $10$ a la potencia de ambos lados de la ecuación:

$\large{10^{\log {T(N)}}=10^{3\log N +\log a}=10^{3\log N}\cdot10^{\log a}=(10^{log N})^3\cdot10^{\log a}}$

Ya que por definición $\log b = c \iff 10^c=b$ se deduce que $10^{\log b}=b$ y por lo tanto $T(N)=N^3 \cdot a$ .