Probabilidad de que dos números enteros tengan la misma cantidad de factores primos

Question

Estoy deseando encontrar esta probabilidad cuando estos 2 enteros se eligen de manera uniforme e independiente entre 1 y n dados.

Answer 1

Una pregunta difícil.

Sólo sabemos (teorema de Erdős-Kac) que si $\omega(n)$ denota el número de factores primos distintos de $n$ y si elegimos al azar un $n$ entre $1$ y $N$ entonces

$$\frac{\omega(n)-\log\log N}{\sqrt{\log\log N}}$$

es una variable aleatoria normal estándar si $N$ es grande. (Mejor dicho: tiende a que si $N \to\infty$ .)

Se puede utilizar este resultado para estimar la probabilidad en cuestión en caso de grandes $N$ s.