Problema con el teorema de Parseval discreto

Question

Creo que debo estar pasando por alto algo obvio, pero no puedo ver lo que es. El versión discreta del teorema de Parseval puede escribirse así:

$$\sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} |X[k]|^2 $$

Ahora, digamos que tienes alguna función en el tiempo, como $x = \sin(\omega t)$ . Dependiendo de lo grande que sea su valor de $N$ el LHS podría ser arbitrariamente grande.

El FT de esta función es una función delta en $\omega$ . En todo lo demás es cero, por lo que su RHS viene dado por $1/N$ . Entonces, ¿cómo es que un lado es igual al otro? Me parece que tienes una suma en un lado y un valor medio en el otro...

I debe ¡estar perdiendo algo obvio!

Answer 1

Parece que estás acostumbrado a una convención de normalización diferente a la utilizada por el artículo de Wikipedia del que has citado el teorema. Con la convención utilizada en el artículo,

$$ X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot\mathrm e^{-\mathrm i 2 \pi k n / N}\;, $$

el problema que describes no se produce. En su ejemplo, exactamente uno de los $X_k$ es distinto de cero, y es proporcional a $N$ por lo que tanto el lado izquierdo como el derecho son proporcionales a $N$ .