Cálculo de un functor entre dos categorías

Question

Soy nuevo en la teoría de categorías, pero creo que tengo una comprensión básica de los funtores.

¿Hay alguna manera de demostrar la existencia de, y tal vez caracterizar completamente, un functor $\mathcal{F}$ asignación de una categoría $\mathcal{C}$ a $\mathcal{D}$ . Las categorías $\mathcal{C}$ y $\mathcal{D}$ tienen como objeto los grafos no dirigidos y como morfismos los homomorfismos. Los objetos de cada categoría se generan a partir de un grafo inicial, por ejemplo llamémoslo $G_0(\mathcal{C})$ para $\mathcal{C}$ y $G_0(\mathcal{D})$ para $\mathcal{D}$ .

Como ejemplo de cómo se construyen las categorías, tomemos $G_0(\mathcal{C})=ACBE$ que se construirá a partir de cuatro nodos $\{A, B, C, E\}$ conectados por aristas $\{(A, B), (A, E), (B, C)\}$ . Los morfismos inicialmente mapean $G_0(\mathcal{C})$ a nuevos grafos homomórficos. En este caso, obtendríamos 16 homomorfismos, dando lugar a 16 grafos:

$G_0(\mathcal{C}) \rightarrow AABB$

$G_0(\mathcal{C}) \rightarrow AABE$

$G_0(\mathcal{C}) \rightarrow ACBB$

$G_0(\mathcal{C}) \rightarrow ACBE$

$G_0(\mathcal{C}) \rightarrow AAEB$

$G_0(\mathcal{C}) \rightarrow AAEE$

$G_0(\mathcal{C}) \rightarrow CABB$

$G_0(\mathcal{C}) \rightarrow CCBB$

$G_0(\mathcal{C}) \rightarrow BBAA$

$G_0(\mathcal{C}) \rightarrow BBAC$

$G_0(\mathcal{C}) \rightarrow BEAA$

$G_0(\mathcal{C}) \rightarrow BEAC$

$G_0(\mathcal{C}) \rightarrow BBCA$

$G_0(\mathcal{C}) \rightarrow BBCC$

$G_0(\mathcal{C}) \rightarrow EBAA$

$G_0(\mathcal{C}) \rightarrow EEAA$

He pensado en pegar los nodos redundantes, de modo que el primer gráfico AABB está formado por nodos $\{A, B\}$ AABE está formada por nodos $\{A, B, E\}$ etc. Del mismo modo, es posible seguir aplicando homomorfismos sobre los segundos grafos (AABB, AABE, ACBB, etc.) y obtener otros nuevos hasta que todos los grafos de un camino colapsen a una arista $G_0(\mathcal{C}) \rightarrow AABB \rightarrow AB$ (No estoy seguro de que esto sea cierto). Todo el proceso dará lugar a una representación en forma de árbol con $G_0(\mathcal{C})$ siendo el nodo raíz y las hojas las aristas finales (de nuevo no estoy seguro de que esto sea cierto).

Así, para $G_0(\mathcal{C})$ y $G_0(\mathcal{D})$ con $G_0(\mathcal{C}) \neq G_0(\mathcal{D})$ mi objetivo es calcular (¿o derivar?) funtores que puedan mapear cualquier objeto o morfismo de $\mathcal{C}$ en su correspondiente en $\mathcal{D}$ . Por supuesto, dicho(s) functor(es) tiene(n) que garantizar la composición: $\mathcal{F}(f \circ g) = \mathcal{F}f \circ \mathcal{F}g$ con $f,g \in Mor(\mathcal{C})$

Answer 1

Tal vez ayude, si piensas en los funtores como " funciones entre categorías ". Si sabes un poco de álgebra lineal, un ejemplo podría ser el functor dualizador $(-)^*$ que asigna a cada espacio vectorial su espacio vectorial dual.

\begin{align} (-)^*: \textbf{Vect}_k & \rightarrow \textbf{Vect}_k \\ V &\mapsto V^* = Hom_k(V, k) \\ (\varphi:V \rightarrow W) & \mapsto (\varphi^*: W^*\rightarrow V^*) \end{align}

$\varphi^*$ se define por $\varphi^*(f) = f\circ \varphi$ es decir, para $v \in V$ y $f \in W^*$ , $\varphi^*(f) (v) = f(\varphi(v))$ .

Así que "calcular" el functor es lo mismo que calcular el dual de un espacio vectorial, siempre que sea necesario.