Probabilidad de que un caballo en un tablero de ajedrez vuelva al punto de partida después de $n$ se mueve

Question

Estoy tratando de resolver un problema relacionado con el paseo aleatorio de un caballo en un tablero de ajedrez.

He modelado el tablero como un gráfico con 64 vértices y el paseo aleatorio en el gráfico como una cadena de Markov para encontrar la distribución estacionaria y he utilizado esto para mostrar que si el caballo comienza en la esquina inferior izquierda entonces el tiempo medio de retorno es de 168 movimientos.

Ahora, me piden que deje $p_n$ es la probabilidad de que el caballo vuelva a estar en la misma esquina después de $n$ pasos, y describir el comportamiento de $p_n$ como $n \rightarrow \infty$ .

Estoy bastante seguro de que el paseo del caballero tiene período 2 por lo que no puedo aplicar el teorema de convergencia al equilibrio directamente. Para impar $n$ , claramente $p_n = 0$ .

¿Cómo puedo encontrar el límite si $n$ ¿está a mano? Intuitivamente parece que sería $\frac{1}{84}$ ( $= \frac{2}{168}$ ), pero no sé cómo hacer para aportar una prueba de ello.

Agradecería mucho la ayuda.

Answer 1

Considere un gráfico cuyos nodos son las casillas negras del tablero de ajedrez. En cada casilla negra, halle la probabilidad con la que un par de movimientos consecutivos del caballo caerían en cada una de las otras casillas negras. Esto da una matriz de transición para un proceso de Markov que consiste en pares de movimientos de caballos.

De hecho, este nuevo proceso de Markov no es más que una forma de describir todos los estados pares del proceso original (si se considera que el estado inicial es el estado número cero). Si su tiempo medio de retorno a la esquina inferior izquierda es $168$ en el proceso original, es $84$ en el nuevo proceso.