Necesito ayuda para derivar una fórmula para una ecuación diferencial

Question

Así que esta puede ser muy básica o muy difícil y no sé cuál es. La pregunta dice:

Deduzca una fórmula para las soluciones de $\dfrac{dy}{dx}=ax+by+c$ . Supongamos que $a, b,$ y $c$ son constantes.

No estoy seguro de cómo hacer este problema pero lo he intentado haciendo la ecuación $\dfrac{dy}{dx}-by=ax+c$ y como by es una constante entonces se convierte en $\dfrac{dy}{dx}+by=ax+c$ lo que hace que sea lineal de primer orden y lo resolví a partir de ahí. ¿Lo he hecho bien o hay otra forma de hacer este problema?

Gracias de antemano.

Answer 1

Si tenemos $y'-by=ax+c$ esto se puede resolver con la solución $y=y_c+y_p$ donde $y_c$ resuelve la parte homogénea, por lo que tenemos la ecuación caracterial:

$m-b=0\Rightarrow m=b\Rightarrow y_c(x)=Ae^{bx}$

y $y_p(x)=kx+l\Rightarrow y'_p(x)-by=k-b(kx+l)=ax+c\Rightarrow -kb=a,k-bl=c$

Así: $k=-\frac{a}{b}, l=-\frac{a}{b^2}-c$ así:

$y(x)=Ae^{bx}-\frac{a}{b}x-\frac{a}{b^2}-\frac{c}{b}$

Answer 2

Pasos a seguir:

1) Resolver para $a=c=0$ . ¿Puedes hacerlo?

2) Utiliza el método de la variación constante para obtener la fórmula general.