Calcular $e^A$ donde $A \in M_{2\times 2}$

Question

Dejemos que $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1& 0 \end{pmatrix}$ calcular $e^A$ .

encuentro la forma jordana de $A$ y dije que $A \sim \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0& -i \end{pmatrix}=B$

así que $e^A\sim e^B$

entonces desde el álgebra de esa matriz diagonal $B$ podemos decir que $e^B= \begin{pmatrix} \sum_{n=0}^{\infty }\frac{i^n}{n!}& 0 \\ 0&\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-i)^n}{n!} \end{pmatrix}$

¿Puedo encontrar dónde $ \sum_{n=0}^{\infty }\frac{i^n}{n!}$ ¿converge? ¿O lo dejo como ?

Answer 1

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{i^n}{n!}=e^i =\cos(1) + i \sin (1)$$

donde la segunda igualdad se debe a $\exp(\theta i ) = \cos(\theta)+i\sin\theta$ . De la misma manera,

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-i)^n}{n!}=e^{-i} =\cos(1) - i \sin (1)$$

Para calcular $e^A$ , considere también los vectores propios.

Answer 2

Usando eso $A^2=-I$ puede escribir $\exp(A)=\sum_{k\in\Bbb N}\frac{A^k}{k!} =\sum_{l\in\Bbb N}\frac{(-1)^l}{(2l)!}I+\sum_{l\in\Bbb N}\frac{(-1)^l}{(2l+1)!}A $ . Deberías ser capaz de encontrar expresiones agradables para esas dos sumas numéricas. Entonces puedes escribir la matriz precisa, que deberías ser capaz de reconocer.

Answer 3

Por Cayley-Hamilton, $A^2=-I.$ Dejemos que $$e^{At}=\alpha I+\beta A$$ para las funciones $\alpha$ y $\beta$ de $t.$ $${d\over dt}e^{At}=\alpha' I+\beta' A =Ae^{At}=$$ $$\alpha A + \beta (-I)=-\beta I + \alpha A.$$ Por lo tanto, $\alpha'=-\beta$ y $\beta'=\alpha$ para que $\alpha$ es la solución de $$(D^2-1)y=0;\ y(0)=1,\ y'(0)=0.$$ $$\text{Therefore, }\ \alpha={1\over 2}(e^t+e^{-t}) \ \ \text{and}$$ $$\beta = -\alpha' =-{1\over 2}(e^t-e^{-t}).$$ Sustituir $t$ por $1$ para conseguir $e^A.$