Obtención de límites a partir de sumas de Riemann

Question

$y=\sum_{i=0}^9\frac{1}{10\sqrt 3} \frac{1}{1+(\frac{i}{10\sqrt 3})^2}$ y $x=\sum_{i=1}^{10}\frac{1}{10\sqrt 3} \frac{1}{1+(\frac{i}{10\sqrt 3})^2}$ . Demostrar que

1. $x<\frac{\pi}6<y$
2. $\frac{x+y}2<\frac{\pi}6$

Mi intento : He demostrado que $x,y$ son respectivamente la suma inferior y superior de Riemann de la función $$I=\sqrt 3 \int_0^1\frac{dx}{3+x^2}=\frac{\pi}6.$$

Así que hemos terminado con la parte a). Cómo tratar la parte b). Aquí $$x+y=\frac34\frac{1}{10\sqrt 3}+2\sum_{i=1}^{9}\frac{1}{10\sqrt 3} \frac{1}{1+(\frac{i}{10\sqrt 3})^2}+\frac{1}{10\sqrt 3}$$

Answer 1

Escribe $f(x) = \dfrac{1}{3+x^2}.$ Entonces la parte (b) se deduce realmente del hecho $$0 < x < 1 \implies f''(x) = \frac{6(x^2-1)}{(3+x^2)^3} < 0$$

Gráficamente, esto se debe a que $\frac{x+y}{2}$ puede reinterpretarse como la "regla del trapecio" para la integral $\int_0^1 f(x)\,dx.$