¿Por qué la diferenciabilidad parcial continua implica la diferenciabilidad total?

Question

Dejemos que $f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ sea tal que las derivadas parciales $\frac{\partial f}{\partial x_i}:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ existen en todas partes y son continuas. Entonces demuestre que $f$ es totalmente diferenciable en todas partes, lo que implica en particular que el gradiente está dado por

$\nabla f(x_0)= \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_0), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_d}(x_0) \right)$ y las derivadas direccionales vienen dadas por

$D_vf(x_0) = v \cdot \nabla f(x_0)$ .

Estoy tratando de entender por qué este resultado se puede utilizar para demostrar el Teorema de la Diferenciación de Rademacher ya que tengo una próxima presentación.

Como siempre, cualquier consejo será muy apreciado.

Answer 1

La función $f:\mathbb{R^2} \mapsto \mathbb{R}$ tiene una derivada total en un punto $x$ si existe un operador lineal $Df(x)(\cdot)$ tal que para cada $\epsilon >0$ hay un $\delta > 0$ de manera que si $0 < ||h|| < \delta$ entonces

$$|f(x+h) -f(h) - Df(x)(h)| < \epsilon||h||.$$

Definir el operador como

$$Df(x)(h) = \partial_1f(x_1,x_2)h_1+\partial_2f(x_1,x_2)h_2$$

Ahora considere la siguiente ruta desde $x = (x_1,x_2)$ a $x+h =(x_1+h_1,x_2+h_2)$ :

$$(x_1,x_2) \rightarrow(x_1+h_1,x_2) \rightarrow(x_1+h_1,x_2+h_2).$$

Utilizando el teorema del valor medio,

$$|f(x_1+h_1,x_2+h_2) - f(x_1,x_2)- \partial_1f(x_1,x_2)h_1 - \partial_2f(x_1,x_2)h_2| \\ =|f(x_1+h_1,x_2+h_2) - f(x_1+h_1,x_2) +f(x_1+h_1,x_2)- f(x_1,x_2)-\partial_1f(x_1,x_2)h_1 - \partial_2f(x_1,x_2)h_2| \\=|\partial_2f(x_1+h_1,\xi)h_2 + \partial_1f(\eta,x_2)h_1 -\partial_1f(x_1,x_2)h_1 - \partial_2f(x_1,x_2)h_2| \\ \leq|\partial_1f(\eta,x_2)-\partial_1f(x_1,x_2)||h_1|+|\partial_2f(x_1+h_1,\xi)-\partial_2f(x_1,x_2)||h_2|$$

donde $x_1 < \eta < x_1 + h_1$ y $x_2 < \xi < x_2 + h_2.$

Como las derivadas parciales son continuas en $x = (x_1,x_2)$ existe $\delta >0$ de manera que si $||h|| < \delta$ entonces

$$|\partial_1f(\eta,x_2)-\partial_1f(x_1,x_2)|< \frac{\epsilon}{\sqrt{2}},\\|\partial_2f(x_1+h_1,\xi)-\partial_2f(x_1,x_2)|< \frac{\epsilon}{\sqrt{2}}.$$

Aplicando Cauchy-Schwarz obtenemos

$$|f(x_1+h_1,x_2+h_2) - f(x_1,x_2)- \partial_1f(x_1,x_2)h_1 - \partial_2f(x_1,x_2)h_2|\\< \sqrt{(\epsilon/\sqrt{2})^2+(\epsilon/\sqrt{2})^2}||h||= \epsilon ||h||.$$

Es sencillo generalizar la prueba para $d > 2$ .