¿Una álgebra de Lie reproduce su grupo de Lie?

Question

Si tengo un grupo de Lie y no tengo su ley del producto pero conozco su álgebra de Lie, ¿podría reproducir la ley del producto globalmente? ¿O al menos en las proximidades de la identidad?

Más concretamente, si considero dos elementos concretos del grupo, digamos $A=e^{a^iE_i}$ y $B=e^{b^iE_i}$ donde $E_i$ s son una base para el álgebra de Lie y sé $a_i$ y $b_i$ como constantes dadas, entonces podría calcular $c_i$ donde

$$AB=C=e^{c^iE_i}$$ de las constantes estructurales del álgebra de Lie?

Answer 1

Sí, si el grupo está simplemente conectado. En particular, dos grupos de Lie con la misma álgebra de Lie tienen la misma cobertura universal, por lo que son isomorfos en una vecindad de la identidad.