Máxima área de un cuadrado en un triángulo

Question

Quiero calcular el área del cuadrado más grande que puede inscribirse en un triángulo de lados a, b, c. La "plaza" a la que me referiré a partir de ahora, tiene todos sus cuatro vértices sobre los lados del triángulo, y, por supuesto, es completamente inscrita en el triángulo, y por la "plaza más grande", con el área máxima de tales plazas.

Hice algunas investigaciones. He encontrado que en el caso de los triángulos rectángulos, parecía haber sólo dos tipos de plaza que se está formando. Uno con un lado de la $\frac{ab}{a+b}$ y el otro de $\frac{abc}{c^2 + ab}$, $c$ siendo la hipotenusa.

Después de algún tiempo, me di cuenta de que había una fórmula común para todos los triángulos. Y es que:

$$side = \frac{ch}{c+h}$$ o $$\frac{1}{side} = \frac{1}{c} + \frac{1}{h}$$ donde, $h$ es la altura sobre la base de la $c$ o $$h = \frac{2\sqrt{(s(s-a)(s-b)(s-c))}}{c}$$

He conseguido los resultados anteriores usando triángulos semejantes, y han añadido una figura, para aclarar este punto. Pero eso es todo, puedo demostrar. He probado de muchos triángulos, y se encontró que el lado más pequeño siempre los rendimientos de la plaza mayor, pero no soy capaz de demostrarlo. Por ejemplo, yo digo que la plaza más grande de 4,7,10 triángulo tiene un área aproximada de 16/3. También quiero hacer otra conjetura (con una interfaz intuitiva de la prueba) de que cualquier triángulo se dan en la mayoría de tres plazas.

Por lo tanto, quiero pedir a usted que mis cálculos, pruebas ... ¿correcto? Tengo derecho? Y los de predicción? Están a la derecha, y si es así, las pruebas? De manera concluyente, ¿tenemos un seguro de incendio de la fórmula para obtener el área de la plaza más grande?

Answer 1

Hay un famoso libro de Polya ("Cómo resolverlo"), en el que el problema de la inscripción de un cuadrado en un triángulo se trata de una muy interesante manera, yo sugiero la lectura.

El cuadrado inscrito es claramente único una vez que elegimos el triángulo del lado donde dos vértices de la plaza de la mentira. Si suponemos que la plaza tiene dos vértices en $AB$ y el lado de la $l$, entonces:

$$l+l\cot A + l\cot B = c,$$

así:

$$ l = \frac{c}{1+\cot A+\cot B} = \frac{2R \sin A \sin B \sin C}{\sin C + \sin A\sin B}=\frac{abc}{2Rc+ab},$$

donde $R$ es el circunradio de $ABC$. Con el fin de maximizar $l$, sólo es necesario para minimizar $2Rc+ab = 2R\left(c+\frac{2\Delta}{c}\right)$ o "tierra" de la plaza en el lado cuya longitud es de tan cerca como sea posible a $\sqrt{2\Delta}$ donde $\Delta$ es el área de $ABC$.

Answer 2

Decir $x$ estar al lado de la plaza más grande dentro de un triángulo con lados de $a,b,c$. Dicen que uno de los lados de la plaza se encuentra en el lado $BC$. Así se obtiene un cuadrado y 3 triángulos. Equiparar el área del triángulo más grande con la suma del área de los 3 pequeño triángulo y el cuadrado, se obtiene:

$$\frac12 ch = x^2\text{[area of the square]}+ \frac12 x(c - x) \text{[area of two small base triangle]} + \frac12 x( h - x)\text{[area of the upper triangle]}$$

Tras la resolución de problemas:

$$x= \frac{ch}{(c+h)}$$