Cuestión integral

Question

$$ \int _{\large{ -\frac { \pi }{ 2 } } }^{\large{ \frac { \pi }{ 2 } } }{ \frac { \mathrm{d}x }{ \sin x-2\cos x+3 } } $$

Wolframalpha sugiere evaluar la integral indefinida sustituyendo $u = \tan(\frac { x }{ 2 })$ . ¿Existe una forma más básica de evaluar esta integral definida?

Answer 1

Allí es otra forma de solucionar esto, pero es un truco para casos especiales y puede que no te sirva nunca más. Pero ahí va: cuando veas $$A\sin(x) + B \cos(x),$$ se puede reescribir como $$ K \sin(x + c) $$ para algunas constantes $K$ y $c$ . ¿Cómo? Escoge $$ K = \sqrt{A^2 + B^2}; $$ en tu caso, eso te da $K = \sqrt{5}$ . Sea $$ c = \cos^{-1}(A/K). $$

En tu caso, obtienes $c = 1.107...$ radianes.

Ahora comprueba: si $\sin(c)$ tiene el mismo signo que $B$ , dejar $c$ tal cual; si no, negar $c$ .

En su caso, $\sin(c) = 0.89...$ Así que el signo está mal, y tenemos que hacer $c = -1.107...$ radianes. Pero voy a dejarlo como $-\cos^{-1}(1/\sqrt{5})$ y escribirlo como $c$ .

Como alternativa, puede dejar que $c = atan2(A, B)$ , suponiendo que conozcas la función atan2.

Así que ahora su integrando se convierte en

$$ \frac{dx}{K\sin(x + c) + 3} \\ = \frac{dx}{\sqrt{5}\sin(x + c) + 3} $$

Puede dejar que $u = x + c$ y $du = dx$ para conseguir $$ \frac{du}{\sqrt{5}\sin(u) + 3}. $$ Multiplicar arriba y abajo por el "conjugado" para obtener $$ \frac{(\sqrt{5}\sin(u) - 3 ) du}{5\sin^2(u) - 9}. $$ Ahora escribe $5 \sin^2 u - 9 = 5(\sin^2 u - 1) - 4 = -5 \cos^2(u) - 4$ por lo que el integrando se convierte en $$ -\frac{(\sqrt{5}\sin(u) - 3 ) du}{5\cos^2(u) + 4} \\ = -\frac{\sqrt{5}\sin(u)du}{5\cos^2(u) + 4} + \frac{3 du}{5\cos^2(u) + 4} $$

La primera parte puede abordarse con una sustitución $v = \cos u$ que produce un término logarítmico.

La segunda parte... bueno, es difícil en sí misma, pero la única solución es dejar $u = \tan^{-1}(x)$ . Entonces $\cos(u) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$ Así que $\cos^2(x) = \dfrac{x^2}{1 + x^2}$ , mientras que $du = \frac{1}{1 + x^2} dx$ . Así que el segundo término se convierte en

$$ \frac{3 du}{5\cos^2(u) + 4} \\ = \frac{3}{5\dfrac{x^2}{1 + x^2} + 4} \frac{1}{1 + x^2} dx \\ = \frac{3}{5x^2 + 4(1 + x^2)} dx \\ = \frac{3}{9x^2 + 4} dx \\ = \frac{3/4}{\frac{9}{4}x^2 + 1} dx \\ = \frac{3/4}{(\frac{3}{2}x)^2 + 1} dx $$ Dejando ahora $z = \frac{3}{2} x$ , tienes una integral arctangente, y deberías estar en camino.

Después de todo eso, el $\tan(t/2)$ la sustitución parece bastante agradable, ¿no? :)

Idea clave: una combinación lineal de $\sin(ax)$ y $\cos(ax)$ puede reescribirse como $K\sin(ax + c)$ para algunos $K$ y $c$ .

Answer 2

@ Hckr, proponemos calcular el WA de aplicación completa y luego juzgar si buscar otro método:

$u=\tan \frac{x}{2}=>\ dx = \frac{2}{u^2+1}\ du$ $$ \int _{\large{ -\frac { \pi }{ 2 } } }^{\large{ \frac { \pi }{ 2 } } }{ \frac { \mathrm{d}x }{ \sin x-2\cos x+3 } }= \int _{-1}^{1}{ \frac {2 \mathrm{d}u }{ 5u^2+2u+1} }=\frac{2}{5}\int _{-1}^{1}{ \frac { \mathrm{d}u }{ (u+\frac{1}{5})^2+(\frac{2}{5})^2} }=$$ $$=\frac{2}{5}\cdot(\frac{2}{5})^{-1} \cdot \tan^{-1}\frac{5u+1}{2}|_{-1}^1=\tan^{-1}3-\tan^{-1}(-2)=\tan^{-1}3+\tan^{-1}2= \frac{3}{4}\pi $$