El infimo de un conjunto es su punto límite

Question

Lema: $A\subset\mathbb{R}, z=\inf(A)$ y $z \notin A$ entonces $z$ es un punto de acumulación de $A$ .

Aquí está mi prueba: Sea $e>0$ se dé. Considere $N(z,e)$ . Tenga en cuenta que $N(z,e)=(z-e,z+e)$ .

Desde $z=\inf(A)$ , $z+e$ no puede ser un límite inferior del conjunto $A$ . Por lo tanto, existe un $t \in A$ , de tal manera que $z-e<t<z+e$ Por lo tanto $N(z,e)$ se cruza con $A$ que no está vacío.

$N$ representa el Barrio de $z$ .

Cualquier comentario o corrección sería muy útil, gracias.

Answer 1

Dos puntos relativamente menores: se obtiene $a \in A$ donde $z \le a <z+e$ , como $z$ es ya es un límite inferior. Cuando se utiliza ese $z \notin A$ es el hecho de que $z < a$ debe sostenerse (de lo contrario tendríamos que $z = \min(A)$ y esto podría ser aislado: $\{0\} \cup[1,2]$ es un ejemplo en el que esto ocurre). Así que tenemos $a \in (A\setminus \{z\})\cap N$ para cada barrio $N$ de $z$ . Esto lo convierte en un punto límite en mi terminología (y como los reales son $T_1$ También es un ( $\omega$ -)punto de acumulación: cada $N$ se cruza con $A$ en un conjunto infinito.