Definición de espacio normado y producto interior

Question

Estaba leyendo algunas páginas de Wikipedia sobre Espacios vectoriales normalizados y Espacios de productos internos y, en las definiciones, siempre se habla de espacios vectoriales sobre $\Bbb R$ o $\Bbb C$ .

¿Esto se debe a que la mayoría de los espacios normados y de producto interno útiles están sobre $\Bbb R$ o $\Bbb C$ ¿o es que esos espacios sólo se definen para espacios vectoriales sobre esos campos específicos?

Edición: Después de debatir este tema en los comentarios de este post quiero reformular mi pregunta:

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb F$ . ¿Qué condición debe tener $\Bbb F$ verificar si queremos $V$ para poder ser un espacio de producto interno? ¿Qué tal un espacio vectorial normado?

Answer 1

Creo que funciona sobre cualquier campo normado (al menos el espacio normado, para los espacios de producto interno no estoy seguro, ya que se necesitaría alguna generalización para la conjugación compleja). Un campo normado $k$ es un campo dotado de una norma $||\cdot||: k\to \mathbb{R}_{\ge0}$ tal que

• $||x||=0\Leftrightarrow x=0$
• $||a+b|| \le ||a|| + ||b||$
• $||a\cdot b|| = ||a||\cdot||b||$

Si su campo $k$ tiene una valoración discreta $\nu$ que se puede construir una norma definiendo $||x||:=\exp(-a\nu(x))$ para cualquier $a$ ...

En cualquier caso, estoy seguro de que Bourbaki le proporcionará la definición más general.

Y si se quiere relajar la condición de que la norma mapee a $\mathbb{R}_{\ge0}$ Creo que también hay una manera de hacer eso, y simplemente hacer que se mapee a algún tipo de semirremolque totalmente ordenado...