Encuentra los enteros que satisfacen $a^3+b^3-a^2b^2-(a+b)^2c=0$

Question

Supongamos $a, b, c \in \mathbb{Z}_{\ge0}$. ¿Cómo encuentro todos los valores de $a$, $b$ y $c$ que satisfacen $$a^3+b^3-a^2b^2-(a+b)^2 c=0$$

Answer 1

Si $a>0,b>0,$ $a^3+b^3-a^2b^2-(a+b)^2 c=0 $

$\Rightarrow a^3+b^3\equiv a^2b^2 \pmod {(a+b)^2}$

$\Rightarrow ab\equiv 0 \pmod {a+b}$

Denotemos $\dfrac{ab}{a+b}=k\in \mathbb Z,(a,b)=d,a=a_1 d,b=b_1 d,(a_1,b_1)=1,\dfrac{a_1b_1d}{a_1+b_1}=k.

Dado que $(a_1b_1,a_1+b_1)=1,a_1+b_1\mid d.

Sea $d=t(a_1+b_1),$ entonces $k=a_1b_1t,a=a_1(a_1+b_1)t,b=b_1(a_1+b_1)t.

$c=\dfrac{a^3+b^3-a^2b^2}{(a+b)^2}=(a_1^2-a_1b_1+b_1^2-ta_1^2b_1^2)t<(a_1^2+b_1^2-a_1^2b_1^2)t=(1-(a_1^2-1)(b_1^2-1))t

Si $a_1>1$ y $b_1>1,$ entonces $c<0.$ Entonces $a_1=1$ o $b_1=1,$ pero en cualquier caso, ya que $\dfrac{c}{t}\in \mathbb Z,$ $\dfrac{c}{t}<1$ significa $\dfrac{c}{t}=0.

Por lo tanto, si $a>0$ y $b>0$ entonces $c=0.

• Si $a>0,b>0,c=0,$ entonces $a^3+b^3-a^2b^2=0,(a_1^3+b_1^3)=da_1^2b_1^2,$ dado que $(a_1^3+b_1^3,a_1^2b_1^2)=1,$ tenemos $a_1=b_1=1,d=2.$ Obtenemos $a=b=2,c=0.

• Si $a=0,$ entonces $b^3-b^2c=0, b=0$ o $c=b.

Por lo tanto, las únicas soluciones son $(a,b,c)=(0,0,0)(2,2,0)(0,0,n)(0,n,n)(n,0,n).(n>0)