$\|Ax - R(A,x)x\|_2 = \inf_{\alpha \in \mathbb R}\|Ax - \alpha x\|_2$

Question

Quiero encontrar la prueba de $$\|Ax - R(A,x)x\|_2 = \inf_{\alpha \in \mathbb R}\|Ax - \alpha x\|_2,$$ donde $R(A,x) = \frac{x^TAx}{x^Tx}$ es el cociente de Rayleigh de $A$ . ¿Cómo empezar?

Answer 1

Tenemos que \begin{align*} \inf_{\alpha\in\mathbb{R}} \|Ax - \alpha x\|_2 ={}& \inf_{\alpha\in\mathbb{R}} \|Ax - \alpha x\|_2^2 \\ ={}& \inf_{\alpha\in\mathbb{R}} x^\top (A-\alpha I)^\top(A - \alpha I)x \\ ={}& \inf_{\alpha\in\mathbb{R}} x^\top (A^\top A - \alpha A^\top - \alpha A + \alpha^2 I)x \\ ={}& \inf_{\alpha\in\mathbb{R}} (\|x\|_2^2\alpha^2 - 2x^\top Ax \alpha + \|Ax\|_2^2). \end{align*} Se trata de una cuadrática convexa en $\alpha$ . Si se pone la derivada a cero se obtiene $2\|x\|_2^2 \alpha^* - 2 x^\top A x = 0$ Así que \begin{equation*} \alpha^* = \frac{x^\top A x}{x^\top x} = R(A,x). \end{equation*}