¿Por qué la tensión en la polea de una máquina Atwood no es igual a $(m_1 + m_2)g$ ?

Question

Considere lo siguiente Máquina Atwood con una polea ideal y una cuerda ideal

Según mi libro de texto, la tensión de la abrazadera que sujeta la máquina a la pared es igual a $2T$ . No entiendo por qué es así. La tensión en $T$ en la cadena es igual en magnitud a $m_1g + m_1a = m_2g - m_2a$ , suponiendo que $m_1$ se acelera hacia arriba.

Además, la aceleración de las masas en una máquina de madera viene dada por

$$a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2}$$

Sustituyendo esto, obtenemos la tensión igual a

$$T = m_1g + m_1\frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2} = m_1g\left(1 + \frac{m_2 - m_1}{m_2 + m_1}\right) = \frac{2m_2m_1g}{m_1 + m_2}$$

Así que, según mi libro de texto, la tensión en la abrazadera de la polea debe ser:

$$2T = \frac{4m_1m_2g}{m_1 + m_2}$$

Pero, ¿no son todas estas fuerzas internas? Si consideramos toda la máquina de atwood como sistema (excluyendo la pinza), las únicas fuerzas que actúan sobre ella son la fuerza de la gravedad, $(m_1 + m_2)g$ y la tensión en la pinza, $T_c$ . Como el sistema está en reposo

$$T_c = (m_1 + m_2)g$$

¿Estoy en lo cierto, o hay un fallo en mi argumento?

Answer 1

El sistema no está en reposo. Si se considera que las masas y la polea son un sistema, se puede entender el comportamiento del sistema por el comportamiento de su centro de masa. A menos que las masas sean iguales, el centro de masa del sistema no está en reposo.

Podría ser útil pensar en ello de esta manera - Dentro de la masa límite del sistema $m_1$ se mueve hacia abajo a través de una distancia mientras que la masa $m_2$ sube la misma distancia. Por lo tanto, el centro de masa se ha desplazado hacia abajo (o hacia arriba, dependiendo de si $m_1 > m_2$ ).

Así, la tensión vendría dada por la ecuación

$$(m_1+m_2)a_{cm} = (m_1+m_2)g - T_c $$

Además, se puede calcular que

$a_{cm} = a(m_2-m_1) /(m_1+m_2)$ donde a es el valor de la aceleración de la masa $m_1$ que usted ha mencionado.

Introdúcelo en la ecuación y lo encontrarás:

$T_c=\frac{4m_1m_2}{m_1+m_2}{g}$

Answer 2

Su resultado se mantiene cuando las dos masas son iguales, en ese caso $a=0$ y tendrías eso:

$T = m_1 g = m_2 g$ .

O:

$2T = 2m_1 g=2m_2g=(m_1+m_2)g$ .

En el caso de que las masas no sean iguales, entonces ambas masas se están acelerando, lo que a su vez aplica una fuerza menor en el sistema de poleas (y en la pinza).

Esto se puede comprobar fácilmente con su fórmula de la tensión.

$T = \frac{2m_1m_2g}{m_1+m_2},$

Si definiera la masa total como: $M=m_1+m_2$ Entonces podría expresar $T$ como:

$T=\frac{2m_1(M-m_1)g}{M}=\frac{2g}{M}(m_1(M-m_1)).$

Puedes comprobar si has tramado $T$ en función de $m_1$ que alcanza un máximo en $m_1=M/2$ lo que significa que la tensión se hace máxima si las dos masas son iguales, la tensión se convierte entonces:

$T=\frac{Mg}{2}=\frac{(m_1+m_2)g}{2}$ ,

o como estabas pensando:

$2T=(m_1+m_2)g$

Para completar el gráfico de la tensión en función de la masa $m_1$ en términos de cantidades adimensionales.

En este gráfico se puede ver fácilmente que si $m_1=0 \Rightarrow m_2=M$ o $m_1=M \Rightarrow m_2=0$ que no habría tensión ya que una de las dos masas estaría en caída libre. En los casos intermedios habría tensión ya que hay un ''tirón'' a ambos lados de la cuerda, cuanto más las masas $m_1$ y $m_2$ iguales entre sí, menor es el movimiento y mayor es el tirón de la cuerda.

Answer 3

Efectivamente, hay un fallo en su argumento. En resumen, la tensión en el cierre de la polea sólo es necesaria para cancelar la fuerza gravitatoria total sobre el sistema cuando todo está en equilibrio y no hay aceleración. Sin embargo, si las masas están desequilibradas, una de ellas caerá y la otra subirá, y no está claro que esto mantenga la fuerza total en el mismo valor que en el caso equilibrado.

De hecho, puede comprobar que cuando las dos masas son iguales entonces las respuestas coinciden: la tensión correcta en el cierre de la polea es $$ T_\text{clasp}=2T=\frac{4m^2}{m+m}g=2mg=(m+m)g. $$