$\chi(\cdot)$ es un entero algebraico en $\mathbb{Q}$ ( $\zeta_n$ )

Question

Dejemos que $\chi(\cdot)$ sea un irreducible (sobre $\mathbb{C}$ ) de una representación en un grupo finito G:

Demuestra que $\chi(g)$ es un entero algebraico en el campo ciclotómico campo $\mathbb{Q}$ ( $\zeta_n$ ), donde $\zeta_n$ := $e^{2\pi i/n}$ .

¿Alguna idea? Realmente idealess...

Answer 1

Sabemos que $\chi(g)=tr(M(g))$ , donde $g \longmapsto M(g) \in GL_n(\mathbb{C})$ es un homomorfismo de grupo. Por lo tanto, sabemos que $M(g)^{|G|}=I_n$ Por lo tanto $M(g)$ es similar a alguna matriz diagonal donde los coeficientes diagonales son potencias de $\zeta_n$ (que es un entero algebraico en dicho campo ciclotómico). Por tanto, también lo es su suma, que es la traza de la matriz diagonal similar a $M(g)$ que es $tr(M(g))=\chi(g)$ .