Estoy leyendo una demostración del Teorema de Bernstein sobre superficies mínimas. En esta prueba se afirma que si $u: \mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R}$ sastisface la ecuación de la superficie mínima, es decir $$ (1+u_x^2)u_{yy} -2u_xu_yu_{xy} + (1+u_y^2)u_{xx} = 0 $$ Entonces las dos funciones $\psi_1 = \arctan(u_x)$ y $\psi_2 = \arctan(u_y)$ son soluciones de la ecuación $$(1+u_x^2)v_{yy} -2u_xu_yv_{xy} + (1+u_y^2)v_{xx} = 0$$
Dado que la ecuación anterior es en cierto modo "simétrica" (cambiando $x$ 's en $y$ y viceversa no altera la ecuación) entonces creo que se ve fácilmente que si $\psi_1$ satisface la ecuación entonces $\psi_2$ también debe hacerlo.
Lo que he hecho hasta ahora:
Tenemos las siguientes identidades: $$ (\psi_1)_{xx} = \frac{u_{xxx}(1+u_x^2) - 2u_xu_{xx}^2}{(1+u_x^2)^2} $$ $$ (\psi_1)_{xy} = \frac{u_{xxy}(1+u_x^2) - 2u_xu_{xy}u_{xx}}{(1+u_x^2)^2} $$ $$ (\psi_1)_{yy} = \frac{u_{xyy}(1+u_x^2) - 2u_xu_{xy}^2}{(1+u_x^2)^2} $$ Que cuando sustituimos correspondientemente en el $v$ en la ecuación y después de utilizar la hipótesis de la ecuación de la superficie mínima nos queda $$ \frac{u_{xxx}(1+u_y^2) - 2u_xu_yu_{xxy}+u_{xyy}(1+u_x^2)+2u_{x}(u_{xx}u_{yy}-u_{xy}^2)}{(1+u_x^2)} $$ Que no puedo entonces, demostrar que es igual a $0$ .
