Dejemos que $f:[0,1] →\mathbb{R}$ sea continua, de manera que $f(t) ≥0$ para todos $t$ en $[0, 1]$ . Definir $g(x) = ∫_0^xf(t)dt$ entonces, ¿cuál es la verdad?

Question

Posible duplicado:
Dejemos que $f:[0,1]\to\mathbb R$ sea continua, de manera que $f(t)\geq 0$ para todos $t$ en $[0,1]$ . ¿Qué se puede decir de $g(x):=\int_0^x f(t)\,dt$ ?

Dejemos que $f:[0,1] \to\mathbb{R}$ sea continua, de manera que $f(t) 0$ para todo t en $[0, 1]$ . Definir $g(x) = \int_0^xf(t) \, dt$ entonces, ¿cuál es la verdad?
1 $g$ es monótona y acotada
2 $g$ es monótona, pero no acotada
3 $g$ está acotado, pero no es monótono
4 $g$ no es monótona ni acotada

Creo que la 1 o la 2 son verdaderas ya que entiendo que es monótona pero no estoy seguro de la acotación

Answer 1

Desde $f$ es continua y está definida en un intervalo cerrado, $f$ está limitada por, digamos $m,M$ por debajo y por encima, respectivamente. A continuación, $$mx= \int_0^x m \, dt\le \int_0^x f(t) \, dt\le \int_0^x M \, dt=Mx$$ ¿Qué dice esto sobre $g$ en $[0,1]$ ?

Un enfoque alternativo sin asumir la continuidad de $f$ (y por tanto la diferenciabilidad de $g$ ) es la siguiente:

$g$ es continua de Lipschitz y está definida en un intervalo cerrado, por lo que está acotada. Además, como $f(t)\ge 0$ para $t\in [0,1]$ , si $0\le x_1<x_2\le 1$ , $$g(x_2)-g(x_1)=\int_{0}^{x_2}f(t)\, dt-\int_{0}^{x_1}f(t)\, dt=\int_{x_1}^{x_2}f(t)\, dt\ge 0$$