Dejemos que $ X'$ sea una terminación de $X$ . Es $X'=\bar X$ ?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio métrico, y $X'$ sea una terminación de $X$ . Es $X'=\bar X$ ?

Para cualquier espacio métrico $M$ se puede construir un espacio métrico completo $M$ (que también se denota como $\bar M$ ), que contiene $M$ como un subespacio denso.( Wikipedia )

¿Qué significa contener $M$ como un subconjunto denso? $M'=:\bar M$ ?

Answer 1

Dejemos que $(X,d)$ y $(Y, \widetilde d)$ sean dos espacios métricos tales que $A\subset X\cap Y$ . Entonces hay que tener en cuenta que (en general) el cierre de $A$ en $X$ (indicada por $\bar A^X$ ) y el cierre de $A$ en $Y$ (indicada por $\bar A^Y$ ) no tienen por qué ser los mismos.

$M'$ contiene $M$ como un conjunto denso significa que $\bar M^{M'}=M'$ (que creo que es a lo que te refieres). Así que el cierre de $M$ en $M'$ es todo el espacio $M'$ . Por supuesto, siempre tenemos $\bar M^M=M$ desde $M$ siempre está cerrado en sí mismo.

Observación. En el artículo de la Wikipedia que mencionas, $M$ está contenida en $M'$ hasta un isomorfismo, de forma similar a como los números racionales están contenidos en la construcción de los números reales.