Intercambiando pointwise límite y derivada de una secuencia de C1 funciones

Question

Supongamos la siguiente:
$f_n$ es una secuencia de $C^1$ funciones $[0,1]$
$f_n(x) \rightarrow 0$ pointwise.
$f'_n(x) \rightarrow g(x)$ pointwise.

Es cierto que $g(x) = 0$ en casi todas partes? Creo que la respuesta es no, pero estoy teniendo problemas con la búsqueda de un contra-ejemplo.

Answer 1

Uno puede mostrar que $\{g=0\}$ es denso:

Supongamos $X=\{x\in[0,1]\ :\ g(x)\neq0\}$ no cuenta con vacío interior.

Para $\varepsilon >0$, vamos a $X_n^\varepsilon=\{x\in[0,1]\ :\ f'_m(x)\geq \varepsilon\ \forall m>n\}$, y para $\varepsilon <0$ vamos $X_n^\varepsilon=\{x\in[0,1]\ :\ f'_m(x)\leq \varepsilon\ \forall m>n\}$

$X_n^\varepsilon$ es cerrado. Por otra parte $X\subset \bigcup_{m\in\mathbb Z, m\neq0}\bigcup_nX_n^{1/m}$.

Por lo $\bigcup_m\bigcup_nX_n^{1/m}$ tiene interior no vacío. Como cualquier contables de la unión de conjuntos cerrados con vacío interior ha vacío interior, hay $\varepsilon$ $n$ tal que $X_n^{\varepsilon}$ tiene interior no vacío. W. l.g. podemos suponer $\varepsilon >0$.

Deje $(x,y)$ ser un intervalo contenido en $X_n^{\varepsilon}$

Tenemos $$\varepsilon(x-y)=\int_x^y\varepsilon\geq\int_x^yf'_n(x)=f_n(x)-f_n(y)\to 0$$ contradicción.

NOTA: si $f_n'$ donde delimitada o dominado por una función integrable, entonces el Lebesgue teorema de convergencia dominada se aplica y podemos poner el límite dentro de la integral, por lo que para cualquier $x,y\in[0,1]$ tendríamos $0=\lim_n(\int_x^yf'_n(t))=\int_x^y\lim_n f'_n(t)=\int_x^yg(t)$, lo que implica $g=0$ en casi todas partes.

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CONTRAEJEMPLO:

Aquí describo un general conter ejemplo a través del conjunto de cantor de la construcción. El procedimiento es complicado de describir. Voy a describir sólo los tres primeros pasos, con la esperanza de que es claro cómo continuar. (Si se podría utilizar el estándar del conjunto de cantor, la construcción sería más agradable, pero el conjunto de cantor tiene medida cero!)

Vamos a consctruct un cantor-set-al igual que el conjunto $X$. Removemos de $[0,1]$ central de un intervalo de $(a_1,b_1)$, de tamaño $\delta_1$. Luego quitamos dos intervalos de $(a^0_2,b^0_2)$, central en $[0,a_1]$ $(a^1_2,b^1_2)$ central en $[b_1,1]$, ambos del mismo tamaño $\delta_2$. Vamos, como en la construcción del conjunto de cantor. Podemos elegir las tallas $\delta_i$, de modo que el total de la medida de eliminar las partes en el proceso es $1/2$, por lo que el conjunto restante $X$ tendrá medir el $1/2$.

Describimos ahora las funciones de $g_n=f'_n$ y definen $f_n(x)=\int_0^xg_n(t)$.

Las funciones de $g_n$ será un modelo lineal por tramos.

La CONSTRUCCIÓN de la $g_1$. (ver también la foto de abajo)

$g_1(x)=1$ $x\in[0,a_1]$ . A continuación, en $[a_1,1/2]$ definir $g_1$, de modo que es lineal y $\int_0^{1/2} g_1(t)=0$. Finalmente, en $[1/2,1]$ define $g_1$ simétricamente por la imposición de $g_1(x)=g_1(1-x)$.

La CONSTRUCCIÓN de la $g_2$. (ver también la foto de abajo)

Modificamos $g_1$ como sigue:

En $[0,a_1]$ definimos $g_2$, de modo que $g_2(x)=1$$x\in[0,a^0_2]$$[b^0_2,a_1]$. En $[a^0_2,b^0_2]$ extends $g_2$, de modo que $\int_0^{a_1}g_2(t)=0$.

En $[a_1,1/2]$ hemos creado $g_2(a_1)=1$, $g_2(a_1+\epsilon_2)=0$ y nos extentd por una función lineal a trozos, de modo que $\int_{a_1}^{a_1+\epsilon_2}g_2(t)=0$, por lo que el $|g_2(t)|<10\epsilon_2$ $[a_1,a_1+\epsilon_2]$

Finalmente, en $[1/2,1]$ definimos $g_2$ simétricamente por la imposición de $g_2(x)=g_2(1-x)$.

Tenga en cuenta que

1) $f_1=\int g_1$ está delimitado por $(1-\delta_1)/2$, $\int_0^1 f_1=0$.

2) $f_2=\int g_2$ está delimitado por $(\frac{1-\delta_1}{2}-\delta_2)/2<1/4$$[0,a^0_2],[b^0_2,a_1],[b_1,a_2^1]$, y $[b_2^1,1]$; $\int_0^{a_1}g_2=\int_0^1f_2=0$ y $f_2=0$$[a_1+\epsilon_2,b_1-\epsilon_2]$, y en $[a_1,a_1+\epsilon_2]$ está acotada por una constante dependint en $\epsilon_2$.

LA CONSTRUCCIÓN DE LA $g_3$

En $[a_1,b_1]$ simplemente cambiamos $\epsilon_2$ con un menor $\epsilon_3$

En los otros intervalos podemos hacer los mismos cambios que hicimos para pasar de lo $g_1$$g_2$.

Esta construcción se lleva a la $f_n$ que es uniformemente acotada por $(1/2)^2$ y una constante que depende de $\epsilon_n$, que llega a cero.

en $X$, que es el complemento de la quita de los intervalos de $g_n=1$ a al $n$. En los intervalos quitado $g_n(x)\to 0$ por $\epsilon_n\to 0$.

En particular, $g_n$ tiene un punto sabio límite que es la característica función de $X$. Muy $g_n$ no está uniformemente acotada porque cada una de las $g_n$ tiene piezas donde es extremadamente negativos (tales piezas son domesticados en el tiempo $n+1$) debido al hecho de que requerimos $\int g_n=0$ en intervalos de $[0,a_n^i]$.

Aquí algunos muy grosero gráficos de $g_1$, $g_2$, y $g_3$ (tenga en cuenta que la tercera imagen es el gráfico de $g_3$ zoom en el intervalo de $[0,1/2]$, por lo que es "la mitad" de $g_3$)