¿De cuántas maneras puede $4$ diferentes paquetes se distribuyan entre $8$ personas de tal manera que todo el mundo recibe $2$ ¿paquetes o ninguno?

Question

Necesito ayuda en cuanto a las explicaciones para la respuesta de un ejercicio que tengo en mi clase

La pregunta es de cuántas maneras se puede distribuir $4$ diferentes paquetes entre $8$ personas A, B,..., H, de manera que todos reciban $2$ paquetes o ninguno.

El profesor ha dado la respuesta, que es $\binom{8}{2}\binom{4}{2} = 28 \cdot 6$ .

$\binom{4}{2}$ lo cual está bien ya que tenemos que elegir $2$ de $4$ paquetes para su distribución.

La parte que no puedo entender es por qué tenemos que elegir específicamente $2$ personas pero no $1$ ? La pregunta no implica que $2$ personas deben ser elegidas sino que, por el contrario, declaró que "todos".

Gracias por su ayuda de antemano :):)

Answer 1

En este contexto, "todos" significa "cada uno".

Dado que hay $4$ paquetes, y cada persona recibe $2$ paquetes o ninguno, se deduce que exactamente $2$ personas recibirán paquetes, cada uno de ellos recibirá $2$ paquetes.

Contar el número de formas de distribuir los paquetes. . .

Primero elija el $2$ personas que recibirán paquetes: $\binom{8}{2}$ opciones.

Siguiente elección $2$ paquetes para entregar al primero (ordenarlos arbitrariamente) de los dos elegidos: $\binom{4}{2}$ opciones.

Entrega los dos paquetes restantes a la segunda persona.

Con estas opciones, la distribución está completa.

Por la regla de la multiplicación, el número de distribuciones posibles es $\binom{8}{2}\binom{4}{2}$ .

Answer 2

Tienes que elegir $2$ gente porque tienes $4$ paquetes, y cada persona sólo puede recibir $0$ o $2$ paquetes.

Answer 3

Piensa así:

Finalmente se repartirán los cuatro paquetes, y como una persona se lleva dos o ninguno, tiene que haber dos afortunados de ocho, así que es:

$$\binom{8}{2}.$$

Y como no lo hemos decidido para cada tipo, ¿qué dos tipos reciben? Así que vamos a elegir para el primer tipo , y dejar el resto para el segundo:

$$\binom{4}{2}.$$