Prueba: La antiderivada de una función difiere en una constante

Question

Dejemos que $f(x)$ una función definida en $I\subseteq \mathbb{R}$ y asumir que $F(x)$ y $G(x)$ son las antiderivadas de $f(x)$ en $I$ , por lo que hay un $c$ tal que para todo $x\in I$ , $F(x)=G(x)+c$

Definamos $H(X)=F(x)-G(X)$ por lo tanto $H'(X)=F'(x)-G'(X)=f(x)-f(x)=0$ . ¿Qué teorema debe utilizarse para finalizar la prueba?

Answer 1

En primer lugar, necesitas que $I$ es un intervalo, supongo que esto es lo que se pretende. Si no es así, no es cierto. (En abstracto, usted quiere que el dominio sea conectado).

A continuación, utilice el Teorema del valor medio .

Si $H$ no es constante hay $a,b$ tal que $H(a) \neq H(b)$ , por lo que por MVT se obtiene una contradicción con $H'$ idénticamente $0$ .

Answer 2

Esto sólo es cierto si $I$ es un intervalo .

Dejemos que $x_1,x_2\in I$ con $x_1<x_2$ ; entonces hay $\xi\in(x_1,x_2)$ con $$ D(x_1)-D(x_2)=(x_2-x_1)D'(\xi) $$ donde $D(x)=F(x)-G(x)$ . Este es el teorema del valor medio aplicado a $[x_1,x_2]\subseteq I$ .

Desde $D'(\xi)=F'(\xi)-G'(\xi)=0$ ,

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De forma más general, si una función diferenciable definida sobre un intervalo tiene derivada cero, entonces la función es constante.

El contraejemplo estándar es $$ f(x)=\arctan x+\arctan\frac{1}{x} $$ definido en $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ . Tiene en todas partes la derivada cero, pero no es constante.