¿Existe un conjunto $A$ de manera que si $F$ es un subconjunto finito de A, entonces $F\in A$ ? Bajo el sistema de axiomas ZFC. Supongo que la respuesta puede ser que no, pero aún no estoy seguro. Cualquier ayuda o pista será apreciada, ¡gracias!
Respuesta
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Existen estos conjuntos, un ejemplo es $V_\omega$ el conjunto de todos los conjuntos que son hereditariamente finitos, lo que significa que $x\in V_\omega$ si y sólo si $x$ es finito, todos los elementos de $x$ son finitos, todos los elementos de todos los elementos de $x$ son finitos, y así sucesivamente.
Si $y\subseteq V_\omega$ es finito, esto significa que para cada $x\in y$ tenemos $x\in V_\omega$ , es decir, elementos de $y$ son conjuntos hereditarios finitos. Dado que $y$ es finito esto significa que $y$ es un conjunto hereditario finito, por lo que $y\in V_\omega$ .
De manera más general, dejemos $\mathcal P_{\mathrm{fin}}(X)$ denotan el conjunto de todos los subconjuntos finitos de $X$ y que $\mathcal P^n_{\mathrm{fin}}(X)=\mathcal P_{\mathrm{fin}}(\mathcal P^{n-1}_{\mathrm{fin}}(X))$ , donde $\mathcal P^0_{\mathrm{fin}}(X)=X$ por convención. Entonces $\bigcup_{n\in\Bbb N}\mathcal P^n_{\mathrm{fin}}(X)$ es un conjunto con la propiedad deseada independientemente de $X$ .
