Dejemos que $X$ sea la bola unitaria cerrada $$ \{ \ x \times y \ \colon \ x^2 + y^2 \leq 1 \ \} $$ en $\mathbb{R}^2$ y que $X^*$ sea la partición de $X$ que consiste en todos los conjuntos de un punto $\{ \ x \times y \ \}$ para lo cual $x^2 + y^2 < 1$ junto con el conjunto $S^1 = \{ \ x \times y \ \colon \ x^2 + y^2 = 1 \ \}$ . Entonces el mapa $p \colon X \to X^*$ definido por $$ p(x) = \begin{cases} \{ \ x \times y \ \} \ & \mbox{ if } \ x^2 + y^2 < 1, \\ S^1 \ & \mbox{ if } \ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} $$ es suryente, y la topología de $X^*$ debe definirse de manera que $p$ en un mapa cociente, es decir, para que un subconjunto $U$ de $X^*$ está abierto en $X^*$ si y sólo si $p^{-1}[U]$ está abierto en $X$ .
Ahora cómo caracterizar los conjuntos abiertos en $X$ que están saturados con respecto a $p$ ? Es decir, cómo decidir si un subconjunto $A$ de $X$ es un conjunto abierto saturado?
Para ser franco, ni siquiera estoy en la facilidad con los conjuntos abiertos en $X$ aunque sé que un subconjunto de $X$ está abierto en $X$ si y sólo si este subconjunto puede expresarse como la intersección de $X$ con un conjunto abierto en $\mathbb{R}^2$ .
Y, cómo demostrar que $X^*$ es homeomorfo con la esfera 2 unitaria en $\mathbb{R}^3$ dado por $$ \{ \ (x, y, z) \ \colon \ x^2 + y^2 + z^2 = 1 \ \}? $$
