Convergencia uniforme de una secuencia de funciones

Question

Dejemos que $(u_n(x))$ sea una secuencia de funciones en $(0,\infty)$ tal que: $u_1(x)=x$ , $u_{n+1}=\frac12\left(u_n(x)+\frac1{u_n(x)}\right)$ para $n\in\mathbb{N}$ . Compruebe si $u_n(x)$ convergen indefectiblemente en $[a,b]$ cuando $0<a<b$ .

Intenté demostrar que $u_n(x)\to{x}$ demostrando que $(u_n(x))$ es monótona, pero no tuvo éxito. Me gustaría obtener una pista.

Answer 1

Suponiendo que $x > 0$ . Para cada $x$ podemos demostrar que $u_n(x) \to 1$ como $n \to \infty$ de la siguiente manera:

Si $u_0(x) < 1$ entonces $u_1(x) > 1$ .

Si $u_n(x) \ge 1$ para cualquier $n$ entonces $u_{n+1} - u_n = \frac 12\left(\frac 1{u_n(x)} - u_n(x)\right) < 0$ y $u_{n+1}(x) = \frac 12\frac{(1-u_n(x))^2}{u_n(x)} + 1$ . Por lo tanto, la secuencia $u_n(x)$ es monotónicamente decreciente y está limitada por debajo por $1$ cuando $n > 0$ por lo que es convergente.

Ahora podemos tomar el límite $n \to \infty$ en la relación $u_{n+1}(x) = \frac 12\left(u_n(x) + \frac 1{u_n(x)}\right)$ para conseguir $u(x) = \frac 12\left(u(x) + \frac{1}{u(x)}\right)$ donde $u(x)$ es el límite puntual de $u_n(x)$ . La ecuación es cuadrática: $$ u(x)^2 - 1 = 0. $$ Sin embargo, ya sabemos que $u_n(x) \ge 1$ para todos $x > 0$ Así que $u(x) = 1$ .

A continuación, demostramos que la convergencia es uniforme en cualquier intervalo cerrado $[a, b]$ dentro de $(0, \infty)$ . Sea $s_n = \sup_{x\in[a,b]}u_n(x)$ para $n > 0$ . (Utilizamos el hecho de que $x \in [a, b]$ aquí para demostrar que $s_1 < \infty$ .) Vemos que para $n > 0$ , $s_n \ge 1$ y \begin{align*} s_{n+1} & = \frac 12\sup_{x\in[a,b]}\left(u_n(x) + \frac{1}{u_n(x)}\right)\\ & \le \frac 12 s_n + \frac 12 \\ s_{n+1} - 1 & \le \frac 12 (s_n - 1). \end{align*} Por lo tanto, $s_n \to 1$ como $n \to \infty$ . Ahora podemos concluir que $u_n \to 1$ de manera uniforme.

Answer 2

Estudiar la función $$ f(t)=\frac{1}{2}\left(t+\frac{1}{t} \right) $$ en $(0,+\infty)$ primero. Disminuye en $(0,1]$ y aumenta en $[1,+\infty)$ . Hay un mínimo golbal único $f(1)=1$ .

Entonces observa que $$ g(t)=f(t)-t=\frac{1-t^2}{2t} $$ es positivo en $(0,1)$ y negativo en $(1,+\infty)$ .

Para cada fijo $x>0$ la secuencia $u_n(x)$ se define recursivamente por $u_1(x)=x$ y $u_{n+1}(x)=f(u_n(x))$ . El comportamiento de esta secuencia depende de la posición de $x$ con respecto a $1$ .

Si $x=1$ entonces es un punto fijo de $f$ así que $U_n(1)=1$ para todos $n$ y converge a $u(1)=1$ .

Ahora arreglar $x>1$ . Primero demuestre por inducción que $U_n(x)>1$ para todos $n$ , utilizando el estudio de $f$ arriba. A continuación se deduce del estudio de $g$ que $u_{n+1}(x)=f(u_n(x))<u_n(x)$ para todos $n$ . De ello se deduce que la secuencia $(u_n(x))$ es decreciente y está limitada por debajo de $1$ por lo que converge a $u(x)\geq 1$ . Ahora $u(x)$ tiene que cumplir la condición $u(x)=f(u(x))$ (pasando al límite en $u_{n+1}(x)=f(u_n(x))$ ). Se obtiene así la ecuación cuadrática $u(x)^2-1=0$ Así que $u(x)=1$ .

Ahora arreglar $x<1$ . Tenemos $u_1(x)=x<1$ . Pero $u_2(x)=f(u_1(x))=f(x)>1$ . Ahora aplique el párrafo anterior a $f(x)$ en lugar de $x$ . Esto demuestra que $U_n(x)$ comienza a disminuir a partir del rango $n=2$ y converge a $1$ .

Así que hemos demostrado que $u_n$ converge puntualmente a la función constante $u(x)=1$ .

Convergencia uniforme, ahora.

Consideremos primero ese caso $[a,b]=[1,b]$ con $b\geq 1$ . Arreglar $1\leq x\leq y$ . Recordemos que $u_n(x)$ y $u_n(y)$ ambos pertenecen a $[1,+\infty)$ para todos $n$ del estudio de convergencia anterior. También, $f$ está aumentando en $[1,+\infty)$ . En el paso inicial, tenemos $1\leq U_1(x)=x\leq y=u_1(y)$ . Así que $1=f(1)\leq u_2(x)=f(u_1(x))\leq u_2(y)=f(u_2(y))$ . Por lo tanto, una prueba por inducción muestra que $1\leq u_n(x)\leq u_n(y)$ para todos $n$ En particular, tenemos $$ 1\leq u_n(x)\leq u_n(b) $$ para todos $x\in[ 1,b]$ y para todos $n$ . Convergencia uniforme en $[1,b]$ se deduce por el Teorema del Apretón.

A partir de ahora $[a,1]$ para $a\leq 1$ . Tome $a\leq x\leq 1$ es decir $u_1(a)\leq u_1(x)\leq 1$ . Aplicar f, que es decreciente allí. Esto da como resultado $1\leq U_2(x)\leq u_2(a)$ . A partir de ahora, todo se comporta como en el párrafo anterior. Así que $$ 1\leq U_n(x)\leq u_n(a) $$ para todos $x\in[a,1]$ para todos $n\geq 2$ . Por el Teorema del Apretón, tenemos una convergencia uniforme en $[a,1]$ .

El caso general $[a,b]$ se deduce fácilmente de los casos $[a,1]$ y $[1,b]$ .

Answer 3

Es obvio que $u_n(x)$ converge puntualmente a $1$ en $[a,b]$ .
Considere cada $x_0\in[a,b]$ , como $u_n(x_0)\geq1$ y ${u_n(x_0)}$ disminuyendo cuando $n\geq 2$ ( $u_{n+1}(x_0)-u_n(x_0)=\frac{1}{2}(\frac{1}{u_n(x_0)}-u_n(x_0))\leq0$ ), tenemos $u_n(x_0)$ convergen. Fácilmente, podemos conseguir que converja a $1$ . Además, muestra $u_n(x)\ge u_{n+1}(x)\ (\forall x\in[a,b]\ \text{and}\ n\ge2)$ .
Aplicando Teorema de Dini tenemos $u_n(x)$ convergen indefectiblemente a $1$ en $[a,b]$ .
Q.E.D.