$\max(a,b)=\frac{a+b+|a-b|}{2}$ generalización

Question

Soy consciente de que en ocasiones la mano de identidad: $$\max(a,b)=\frac{a+b+|a-b|}{2}$$

Sin embargo, he encontrado que soy incapaz de conseguir una buena forma similar a $\max(a,b,c)$. Por supuesto, siempre podría utilizar el hecho de que $\max(a,b,c)=\max(\max(a,b),c)$ escribir $$\begin{align}\max(a,b,c)&=\frac{\frac{a+b+|a-b|}{2}+c+\left|\frac{a+b+|a-b|}{2}-c\right|}{2} \\&=\frac{a+b+2c+|a-b|+|a+b-2c+|a-b||}{4}\end{align}$$

pero esto carece de elegancia y, en particular, no está claro para mí, sólo a partir de la fórmula que si puedo permutar las variables obtengo el mismo resultado.

La siguiente no funciona, pero sería bueno si pudiera escribir $\max(a,b,c)$ en alguna forma como $$\frac{a+b+c+|a-b|+|a-c|+|b-c|}{3}$$

Hay una buena generalización de este a $n$ variables? Que se da $x_1,x_2,\dots,x_n\in\mathbb{R}$, hay una manera de escribir $\max(x_1,x_2,\dots,x_n)$ claramente simétrica forma mediante la suma, la resta, la división y la función valor absoluto?

Answer 1

Symmetrizing en la manera obvia:

$$\frac{a+b+c}3+\frac{|a-b|+|b-c|+|a-c|}{12}+\\\frac{|a+b-2c+|a-b||+|a+c-2b+|a-c||+|b+c-2a+|b-c||}{12}$$

Para cuatro variables, que he encontrado:

$$\tfrac14\left(a+b+c+d+|a-b|+|c-d|+|a+b-c-d+|a-b|-|c-d||\right)$$

Por supuesto, usted no tiene para utilizar el valor absoluto de los signos: $$\lim_{m\to\infty}\sqrt[m]{a^m+b^m+c^m}$$