Sea P el conjunto de todos los números primos. Demostrar que $| \mathbb{P}| = |\mathbb{N}|$

Question

Estoy tratando de demostrar una biyección entre los dos. Sé que es uno a uno, ya que si

$f: \mathbb{N}\to \mathbb{P}$

$f(n)$ = enésimo número primo

¿Cómo se demuestra que es sobre?

Answer 1

No es necesario demostrar que es sobre.

Por el Teorema de Schröder-Bernstein Si encuentras una inyección $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{P}$ y otra inyección $g : \mathbb{P} \rightarrow \mathbb{N}$ El resultado será el siguiente.

Definir $f(n) = \text{the } n^{\text{th}} \text{ prime number}$

Definir $g(n) = \text{the } n^{\text{th}} \text{ number}$ .

Desde $f$ y $g$ son inyectivas, $|\mathbb{N}| = |\mathbb{P}|$ hemos terminado.