Hessiana en coordenadas esféricas

Question

Considere una función $f$ tal que para alguna otra función $g$ $$(\nabla f)(x)= g(\Vert x \Vert) \frac{x}{\Vert x \Vert}.$$

Por lo tanto, el gradiente de esta función es un vector que depende sólo del radio.

¿Existe una forma sencilla de calcular el hessiano de la función $f$ usando eso $\nabla f$ depende ya sólo de una coordenada, esencialmente?

Answer 1

El Hessian se reduce muy bien. Tomando la derivada parcial:

$$\frac{\partial}{\partial x_j}\left(g(||x||)\frac{x_i}{||x||}\right) = g'(||x||)\frac{x_i x_j}{||x||^2} + g(||x||)\left( \frac{\delta_{ij}}{||x||} - \frac{x_i x_j}{||x||^3} \right)$$

$$\implies \mathbf{H} = \left(\frac{g(||x||)}{||x||}\right)\mathbf{I} + \left(\frac{||x||g'(||x||)-g(||x||)}{||x||^3}\right)\mathbf{x}\otimes \mathbf{x}$$