$f(x, y)=(x^2-2y^2)e^{-x^2-y^2}$ está acotado

Question

Intento demostrar que la función

$$f(x, y)=(x^2-2y^2)e^{-x^2-y^2}$$

tiene un máximo y un mínimo absolutos en $\mathbb{R}^2$ .

He encontrado el máximo / mínimo local ( $\frac{1}{e}$ y $\frac{-2}{e}$ ) pero no estoy seguro de cómo mostrar que también son el máximo/mínimo global.

Answer 1

$$\frac{d(x^2-2y^2)e^{(-x^2-y^2)}}{dx}=2x(1-x^2+2y^2)e^{(-x^2-y^2)}=0 $$ así que $$x=0 , x^2-2y^2=1 $$ $$x^2-2y^2=1$$ $$ \frac{1}{e^{(1-3y^2)}}<\frac{1}{e} $$ $$x=0$$ $$-2y^2e^{-y^2}=\frac{-2y^2}{e^{y^2}}>\frac{-2}{e}$$ desde: $$(\frac{y^2}{e^{y^2}})^{'}=0$$ da $$y=0.y=1,y=-1$$