Sobre la cardinalidad del álgebra sigma y el conjunto de potencias

Question

Dejemos que $X$ sea un conjunto. Sabemos que $|\mathcal{P}(X)|=2^{|X|}$ .

Dejemos que $\mathcal{K}=\{A_{1},\dots,A_{n}\}$ , donde $A_{1},\dots,A_{n}$ son subconjuntos de $X$ .

Pregunta : ¿Es cierto que $|\sigma(\mathcal{K})|=|\mathcal{P}(X)|$ ?

Se inspiró en el manual de soluciones de El libro de Schilling al problema 3.4 (ii).

Answer 1

Definitivamente no.

Si $n=1$ entonces $\sigma(\cal K)$ es sólo $\{\varnothing,A,X\setminus A,X\}$ . Independientemente de cualquier cosa sobre $X$ . Así que si $X$ es algo más grande que dos elementos, éste no será del mismo tamaño que $\mathcal P(X)$ .

Answer 2

Una generación finita de $\sigma$ -es siempre finita. En efecto, dejemos que $\mathcal{A}$ sea el conjunto de uniones de conjuntos de la forma $\bigcap_{i=1}^n B_i$ donde cada $B_i$ es $A_i$ o su complemento. Entonces no es difícil demostrar $\mathcal{A}$ es un $\sigma$ -que contiene $\mathcal{K}$ y, por tanto, es igual a $\sigma(\mathcal{K})$ . Hay como máximo $2^n$ conjuntos de la forma $\bigcap B_i$ por lo que hay como máximo $2^{2^n}$ elementos de $\sigma(\mathcal{K})$ .

Answer 3

De acuerdo, $|\sigma(\mathscr{B})|=|\mathcal{P}(\aleph_0)|=\mathbb{c}$ es decir $\sigma$ -en un conjunto de Borel en $\mathbb{R}$ es $\mathbb{c}$ (continuo), que es lo mismo que $\mathbb{R}$ , no el $|\mathcal{P}(\mathbb{R})|$ .