Cuándo utilizar el lema de Zorn

Question

Esta mañana estuve viendo un ejercicio que pude reducir a demostrar que el nilradical es la intersección de los ideales primos en un anillo -un hecho que recordaba que era cierto, pero que intenté demostrar durante un rato sin éxito. En contra de mi tendencia habitual a dejar que algo así arruine el resto de mi día de investigación, saqué mi copia de Atiyah y MacDonald y busqué la respuesta. (La idea es suponer que algún elemento no nilpotente f se encuentra en cada ideal primo, aplicar el lema de Zorn a los ideales que no contienen ninguna potencia de f ordenada por inclusión, y luego demostrar que el límite superior es primo).

Mi reacción a esto fue algo parecido a: "Ah, yo nunca habría conseguido eso, porque nunca habría intentado usar el lema de Zorn". Tras reflexionar un poco más, me di cuenta de que esto indicaba una grave debilidad en mi capacidad para el álgebra conmutativa.

Me siento perfectamente cómodo usando el lema de Zorn para algo como mostrar que un espacio vectorial arbitrario tiene una base, pero cuando veo una pregunta como esta no veo la conexión. Sé que esto no tiene realmente una respuesta definitiva, pero esperaba que alguien pudiera señalar algún tipo de conexión que mejorara mi intuición sobre cuándo el lema de Zorn podría ser efectivo.

EDIT: Gracias a todos por las respuestas. Todas son útiles y me ha costado mucho elegir.

Answer 1

Como Dylan Moreland sugiere en un comentario más arriba, una forma de pensar en tu pregunta específica (sobre nilradicales), que es muy algebraica conmutativa en espíritu, es primero localizar tu anillo $A$ en el elemento no ilpotente $f$ . El problema consiste entonces en demostrar que el anillo no nulo $A_f$ admite un ideal primo, y esto se deduce del lema de Zorn: cualquier anillo distinto de cero (con identidad) tiene un ideal maximal (y por tanto primo).

Este resultado sobre la existencia de ideales maximales es el uso estándar del lema de Zorn en el álgebra conmutativa, similar a la existencia de bases en el álgebra lineal. Si quieres reforzar tu álgebra conmutativa, la solución quizá no sea tanto encontrar una gama más amplia de situaciones en las que aplicar el lema de Zorn, sino más bien practicar la aplicación de trucos estándar como la localización, para encontrar formas de ponerte en situaciones en las que se pueda utilizar esta aplicación estándar del lema de Zorn.

Answer 2

Tal vez esta sea una respuesta demasiado directa a lo que en realidad es una pregunta más general, pero ahí va:

Se le da un elemento no nilpotente $x$ de un anillo conmutativo $R$ y necesitamos encontrar un ideal primo $\mathfrak{p}$ de $R$ tal que $x \notin \mathfrak{p}$ . Así que, en particular, hay que encontrar un ideal primario de $R$ ¡! Pero sin alguna forma de Lemma de Zorn / Axioma de elección hay anillos conmutativos no nulos sin ningún tipo de ideales primos. En efecto, el Teorema del ideal primo booleano es la afirmación de que todo anillo booleano distinto de cero tiene un ideal primo, y se sabe que esto es estrictamente más débil que el Lemma de Zorn / Axioma de Elección, pero no se puede derivar de la teoría de conjuntos ZF estándar. Véase esta respuesta de Chris Phan a una pregunta de MO estrechamente relacionada para obtener más información sobre este punto.

He aquí un esbozo de una respuesta mejor y más general: a menudo se da el caso de que cualquier ideal de un anillo conmutativo que es máximo con respecto a alguna propiedad dada $P$ es necesariamente primo. De la mano de esto va el hecho de que los ideales maximales con respecto a $P$ lo que suele verificarse mediante el lema de Zorn. Lo anterior es un caso especial de esto donde la maximalidad es con respecto a la exclusión de un cierto subconjunto cerrado multiplicativamente. Para más información sobre este tema, recomiendo encarecidamente que se lea el Principio del ideal primario de Lam y Reyes.

Answer 3

He aquí un ejemplo (espero) esclarecedor. Dejemos que $X$ sea una variedad irreducible sobre un campo perfecto, y consideremos su gajo de diferenciales de Kähler $\Omega_X$ . Si $X$ es suave, entonces $\Omega_X$ es localmente libre y corresponde al haz cotangente. Si $X$ no es suave, entonces la noción de "haz cotangente" no tiene realmente sentido, pero la gavilla $\Omega_X$ sirve como una especie de sustituto:
-El subconjunto abierto de $X$ en el que $\Omega_X$ es localmente libre consiste precisamente en el conjunto de puntos en los que $X$ es suave.
-Si $x \in X$ es un punto con campo de residuos $\Bbbk(x)$ entonces cualquier definición razonable del espacio cotangente en $x$ resultará ser equivalente a $\Omega_{X,x} \otimes \Bbbk(x)$ . Los puntos singulares de $X$ son precisamente aquellos puntos en los que la dimensión del espacio cotangente es "demasiado grande".