Desigualdad del triángulo para una métrica en el espacio de las líneas que pasan por el origen

Question

Tengo una métrica en el espacio $\Bbb{P}(\Bbb{R}^n)$ de líneas que pasan por el origen en $\Bbb{R}^n$ Es decir, que $d(L_1, L_2) = \sqrt{1 - \frac{|<v, w>|}{\lVert v \rVert \lVert w \rVert}}$ , donde $v$ y $w$ son cualesquiera vectores no nulos en $L_1$ y $L_2$ respectivamente.

Puedo ver que la desigualdad de Cauchy-Schwartz muestra que esta métrica está bien definida, y que la condición de igualdad de Cauchy-Schwartz asegura la positividad. La simetría es evidente. Tengo problemas con la desigualdad del triángulo, y después de buscar un buen rato no he conseguido encontrar una prueba sencilla de esto, ¡aunque puede que esté buscando en el lugar equivocado!

Me gustaría construir una prueba directamente si es posible - ¿alguien podría darme un empujón en la dirección correcta?

Answer 1

En situaciones así, un truco es pasar a la esfera, donde las cosas son más intuitivas y podemos reducir a las normas euclidianas habituales.

Es decir, observemos que como sólo nos importan las direcciones, no importa qué puntos de las líneas escojamos, por lo que podemos WLOG considerar puntos de la esfera unitaria. Entonces la distancia que se define se reduce a $$d(L_1,L_2) = \sqrt{1-\langle u,v\rangle}= \sqrt{1-\cos(u,v)}$$ Recordemos que $\cos2\alpha = 1-2\sin^2\alpha$ Por lo tanto $$d(L_1,L_2) = \sqrt{2}\sin \frac{\angle(u,v)}{2}.$$ La última observación que necesitamos es que el seno del semiángulo entre $u$ y $v$ es proporcional a la distancia $\|u-v\|$ en el espacio euclidiano, considerando la altitud en el triángulo isósceles con vértices en $u,v$ y el origen. Esto reduce su desigualdad de triángulos a la desigualdad de triángulos en el espacio euclidiano.