¿Hay alguna forma de escribir $2^3+2^2+2^1+2^0$ ¿en forma corta o de una manera mejor?

Question

Estoy haciendo una pregunta y en vez de ir por fases resolviendo la pregunta me preguntaba si podría hacerlo todo en una con una ecuación corta.

La pregunta es sobre el interés compuesto encontrando el valor futuro. El número $2$ se utiliza para facilitar la escritura, pero sería el interés. $500$ es la cantidad que se añade cada seis meses.

Así que me gustaría hacer algo así:

$A = 500(2^{20}+\dots+2^3+2^2+2^1+2^0)$

El exponente sería el número de períodos de conversión.

Hemos aprendido a hacerlo paso a paso con: $A = P(1+i)^n$ Tendría que calcular los primeros seis meses y luego añadir el $500$ y seguir haciendo esto hasta que llegue a los diez años.

Esta forma parece ineficiente, así que me preguntaba si había una forma más fácil :)

Gracias.

Answer 1

$a^0+a^1+\cdots+a^n=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}$ , suponiendo que $a\neq 1$ . Si $a=1$ entonces la suma es obviamente $n+1$ .

Answer 2

Bueno, hay algunas anotaciones:

$$2^n + 2^{n-1} + 2^{n-2} + ... + 2 + 1 = \sum_{k=0}^n 2^k$$

Otra cosa es que se pueda dar una fórmula explícita para evaluar esta suma. Resulta que sí existe una. Véase la respuesta de Nishant (+1) y este Artículo de Wikipedia.