matrices ortogonales y matrices diagonales multiplicadas

Question

Probando $$(P^T P^T) \Lambda P P \equiv \Lambda$$ donde $P$ es una matriz ortogonal, $\Lambda$ es una matriz diagonal. Todas las matrices tienen dimensiones $n \times n$ .

Como este es el último paso de la prueba mostrada en $\chi^2$ para distribuciones gaussianas dependientes Se sabe que todos los elementos diagonales de $\lambda_i \geq 0$

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1. Las matrices ortogonales multiplicadas dan otra matriz ortogonal

Prueba: $$ P \cdot P^T = I\\ Q := P \cdot P\\ P^{-1} = P^T\\ PP \cdot (PP)^T = PP \cdot P^T P^T = P I P^T = P \cdot P^T = I $$

Así que $Q$ también es ortogonal.

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2. ¿Cómo puedo demostrar ahora que $Q \Lambda Q^T = \Lambda$ ?

Para un rango completo $\Lambda$ con elementos diagonales iguales y, en caso contrario, cero, esto se puede demostrar: $Q \Lambda Q^T = Q \lambda \cdot I Q^T = \lambda Q \cdot Q^T = \lambda \cdot I = \Lambda$

¿Cómo puedo demostrar esto para el caso general con elementos diagonales diferentes?

Answer 1

No creo que esto sea cierto. Contraejemplo: $\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} $ $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix} $ $\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} $ = $\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $