Puede $x$ se escriba como $\mathbb{Q}[x,y]$ -combinación algebraica de $x+xy$ , $y+xy$ , $x^2$ y $y^2$ ?

Question

Me preguntaba cómo escribir $x$ como una combinación algebraica de $\{x+xy,y+xy,x^2,y^2\}$ con los coeficientes $\in \mathbb Q[x,y]$ .

Answer 1

Nuevo problema : Tome $(x+xy)-x(y+xy)+y(x^2)$ . Esto se simplifica a $x+xy-xy-x^2y+x^2y=x$ .

Antiguo problema : Esto no es posible. Para ver por qué, examine $x= a(x+xy)+b(y+xy)+cx^2+dy^2$ con $a,b,c,d\in\mathbb{Q}$ . Entonces tenemos que $x= ax+by+(a+b)xy+cx^2+dy^2$ . Igualando los coeficientes, vemos que $b$ debe ser 0 y $a$ debe ser 1. Pero entonces el coeficiente de $xy$ es 1 en el lado derecho y 0 en el lado izquierdo, lo cual es una contradicción.