Cómo resolver $x^4-8x^3+24x^2-32x+16=0$

Question

¿Cómo podemos resolver esta ecuación? $x^4-8x^3+24x^2-32x+16=0.$

Answer 1

Como $x\ne0,$ dividiendo ambos lados por $x^2$

$$x^2+\left(\frac4x\right)^2-8\left(x+\frac4x\right)+24=0$$

Ahora como $\displaystyle x^2+\left(\frac4x\right)^2=\left(x+\frac4x\right)^2-2\cdot x\cdot\frac4x$

Configurar $x+\dfrac4x=y,$ obtenemos $\displaystyle y^2-8-8y+24=0\implies(y-4)^2=0\iff y=4$

Por lo tanto, tenemos $\displaystyle x+\frac4x=4\iff(x-2)^2=0$

Answer 2

$\newcommand{\+}{^{\dagger}} \newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, #1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\right\vert\,} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ \begin{align} \color{#c00000}{\Large 0}&=x^{4} - 8x^{3} + 24x^{2} - 32x + 16= 16\bracks{\pars{x \over 2}^{4} - 4\pars{x \over 2}^{3} + 6\pars{x \over 2}^{2} - 4\,{x \over 2} + 1} \\[3mm]&=16\left\lbrack{4 \choose 0}\pars{x \over 2}^{4}\pars{-1}^{0} +{4 \choose 1}\pars{x \over 2}^{3}\pars{-1}^{1} +{4 \choose 2}\pars{x \over 2}^{2}\pars{-1}^{2} +{4 \choose 3}\,\pars{x \over 2}^{1}\pars{-1}^{3}\right. \\[3mm]&\left.\phantom{16\bracks{}}\mbox{} + {4 \choose 4}\pars{x \over 2}^{0}\pars{-1}^{4}\right\rbrack =\color{#c00000}{16\bracks{{x \over 2} + \pars{-1}}^{4}} \quad\imp\quad\color{#00f}{\Large x = 2} \end{align}

Answer 3

Se podría factorizar, a la manera de $(x-2)^4=0$ . Vi esos factores inmediatamente.

Un proceso es observar que $16$ tiene divisores, y se pueden probar varias combinaciones de esto de manera que la suma dé ocho.

Las posibilidades incluyen $2, 2, 2, 2$ y $4, 4, 1, -1$ . Sin embargo, no se puede producir el segundo conjunto para dar +16, por lo que intentar $(x-2)(x-2)(x-2)(x-2)$ es más probable que $(x-4)(x-4)(x-1)(x+1)$ .

Answer 4

Para empezar, este polinomio se llama ecuación biquadrática .

Primero, factoriza el polinomio. $$x^4 - 2x^3 - 6x^3 + 12x^2 + 12x^2 - 24x - 8x + 16 = 0$$ $$x^3(x - 2) - 6x^2(x - 2) + 12x(x - 2) - 8(x - 2) = 0$$ $$(x^3 - 6x^2 + 12x - 8)(x - 2) = 0$$

Después, continúa la factorización del polinomio.

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$$ $$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4$$ $$x^4 + 4 \times x^2 \times (-2) + 6 \times x^2 \times (-2)^2 + 4 \times x \times (-2)^3 + (-2)^4 = 0$$

Así que $\mathbf{(x - 2)^4 = 0}$ .