¿Cuándo $x^n = \sqrt[n]x$ para impar $n$ y real $x$ ?

Question

El problema se plantea en el momento en que se produce.

Dado que $n \in \mathbb Z$ y $x \in \mathbb R$ la función $f(x) = x^n$ tendrá una inversa sólo para valores Impares de $n$ .

En estos casos encontramos la inversa $f^{-1}(x) = g(x) = \sqrt[n]x$ .

Problema

Encuentre los puntos de intersección entre $f$ y su inversa $g$ .

Pensamientos

Esencialmente tenemos que resolver la ecuación $x^n = \sqrt[n]x$ para impar $n$ y real $x$ .

Haciendo cualquier cálculo "real" se obtienen ecuaciones de potencia arbitraria como $x^{n^2} - x = 0$ pero más allá de las soluciones triviales $x=0, 1$ o $n = \pm 1$ Es difícil predecir si vale la pena tratar de encontrar más.

Conclusión ( )

$x \in \{0, 1\} \ \vee \ n=\pm1$ deben ser las únicas soluciones.

¿Te parece bien?

Answer 1

Puede ver que $|x^m| > |x|$ para todos $m >1$ y todos $x$ satisfaciendo $|x| >1$ . Así que $x^{n^2} \not = x$ para todos $x$ satsificando $|x| >1$ . Así, las soluciones mencionadas $x \in \pm 1,0$ son precisamente el conjunto de soluciones.

ETA: Por alguna razón había leído $n$ debe ser un positivo entero. El mismo razonamiento es válido para cada impar $n \not \in \pm 1$ positivo o negativo, excepto $x$ no puede ser $0$ para los negativos $n$ . Para $n=1,-1$ , tenga en cuenta que $x^n =x^{1/n}$ para todos $x \not = 0$ para $n=-1$ y para todos $x$ para $n=1$ .