Categoría de modelo generada de forma fibrosa

Question

Un concepto importante en el estudio de las categorías modelo es el de "categorías modelo generadas cofibrantemente". Estas son agradables porque todos los morfismos pueden obtenerse a partir de un pequeño subconjunto de ellas y, en general, estas categorías específicas suelen ser más fáciles de trabajar.

Ahora me preguntaba por qué no encuentro casi nada sobre "categorías de modelos generados fibrantemente". Dado que la dualidad lo es todo en la teoría de categorías, esperaba encontrar al menos algo sobre ellas.

Probablemente no sé lo suficiente sobre estas estructuras para darme cuenta de algunas cosas obvias, pero me parece curioso. ¿Hay alguna razón sólida para su inexistencia?

Answer 1

Las categorías modelo generadas cofibrantemente más importantes son las combinatorias, que también son localmente presentables; por el teorema de Dugger, todas ellas son equivalentes de Quillen a localizaciones de Bousfield izquierda de la estructura modelo proyectiva en alguna categoría de presejos simpliciales. Tales categorías son muy parecidas a la categoría modelo clásica de conjuntos simpliciales: se construyen cosas a partir de complejos celulares, sobre todo.

Ciertamente, lo opuesto a una categoría modelo cofibrantemente generada es fibrantemente generada, pero esto corresponde aproximadamente a tomar presejos valorados en la categoría opuesta de conjuntos simpliciales, lo cual no es tan importante. Se trata de un análogo en teoría de la homotopía del hecho de que las categorías localmente presentables son más importantes en la práctica que sus opuestas, aunque las nociones son formalmente equivalentes por dualidad. Un problema particular para conseguir la generación de fibrantes es la escasez de objetos cosmales en la mayoría de las categorías "naturales".